分析 (Ⅰ)推导出AB⊥AA1,AC⊥AB,从而AB⊥平面AA1C1C,进而AD⊥AB,再由AB∥A1B1,能证明AD⊥A1B1.
(Ⅱ)以A为原点,AB为x轴,AA1为y轴,AC为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出二面角B-A1C-A的余弦值.
解答 证明:(Ⅰ)∵四边形ABB1A1、是正方形,∴AB⊥AA1,
∵AC⊥AB,AA1∩AC=A,AA1?平面AA1C1C,AC?平面AA1C1C,
∴AB⊥平面AA1C1C,
∵AD?平面AA1C1C,∴AD⊥AB,
∵AB∥A1B1,∴AD⊥A1B1.
解:(Ⅱ)以A为原点,AB为x轴,AA1为y轴,AC为z轴,建立空间直角坐标系,
设AB=2,则B(2,0,0),B1(2,2,0),A1(0,2,0),C(0,0,2),
$\overrightarrow{B{A}_{1}}$=(-2,2,0),$\overrightarrow{CB}$=(2,0,-2),
设$\overrightarrow{n}$=(x,y,z)为平面BA1C的法向量,
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CB}=-2x+2y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{B{A}_{1}}=2x-2z=0}\end{array}\right.$,令y=1,得$\overrightarrow{n}$=(1,1,1)为平面BA1C的一个法向量,
∵$\overrightarrow{m}$=(1,0,0)为平面ACA1的法向量,
∴cos<$\overrightarrow{m},\overrightarrow{n}$>=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$,
∴二面角B-A1C-A的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$.
点评 本题考查异面直线垂直的证明,考查二面角的余弦值的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意向量法的合理运用.
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A. | $\frac{1}{5}$ | B. | $\frac{2}{5}$ | C. | $\frac{3}{5}$ | D. | $\frac{4}{5}$ |
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A. | $\frac{8}{3}$ | B. | $\frac{4}{3}$ | C. | $\frac{8}{9}$ | D. | $\frac{4}{9}$ |
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A. | $\frac{4π}{3}$ | B. | $\frac{2π}{3}$ | C. | $\frac{π}{3}$ | D. | $\frac{π}{6}$ |
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