Question

设函数f(x)=log_ax(a＞0,a≠1,a为常数）,

已知数列f(x₁),f(x₂),…,f(x_n),…是公差为2的等差数列，且x₁=a⁴,

（1）求数列{x_n}的通项公式；

（2）当0＜a＜1时，求(x₁+x₂+…+x_n)；

（3）令 g(n)=x_nf(x_n),当a＞1时，试比较g(n+1)与g(n)的大小.

Answer 1

解:(1)∵f(x₁)=log_aa⁴=4,d=2,

∴f(x_n)=4+(n-1)·2=2n+2,

即log_ax_n=2n+2,∴x_n=a²ⁿ⁺².

(2)由x_n=a²ⁿ⁺²及0＜a＜1,知{x_n}是以a⁴为首项,a²为公比的等比数列.

∵S_n=x₁+x₂+…+x_n=,

∴(x₁+x₂+…+x_n)=.

(3)g(n)=x_nf(x)=a²ⁿ⁺²·(2n+2)=(2n+2)·a²ⁿ⁺².

∵g(n+1)=(2n+4)·a²ⁿ⁺⁴,

∴·a²=·a².

∵a＞1,＞1,∴g(n+1)＞g(n).