设λ＞0.点A的坐标为(1.1).点B在抛物线y=x2上运动.点Q满足BQ=λQA.经过点Q与x轴垂直的直线交抛物线于点M.点P满足QM=λMP.求点P的轨迹方程．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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设λ＞0，点A的坐标为（1，1），点B在抛物线y=x²上运动，点Q满足

=λ

，经过点Q与x轴垂直的直线交抛物线于点M，点P满足

=λ

，求点P的轨迹方程．

分析：设出点的坐标，利用向量的坐标公式求出向量的坐标，代入已知条件中的向量关系得到各点的坐标关系；表示出B点的坐标；将B的坐标代入抛物线方程求出p的轨迹方程．

解答：解：由

=λ

知Q，M，P三点在同一条垂直于x轴的直线上，故可设P（x，y），Q（x，y₀），M（x，x²）则
x²-y₀=λ（y-x²）即y₀=（1+λ）x²-λy①
再设B（x₁，y₁）由

=λ

得

x1=(1+λ)x-λ

y1=(1+λ)y0-λ

②
将①代入②式得

x1=(1+λ)x-λ

y1=(1+λ)2x2

-λ(1+λ )y-λ③
又点B在抛物线y=x²
将③代入得（1+λ）²x²-λ（1+λ）y-λ=（（1+λ）x-λ）²
整理得2λ（1+λ）x-λ（1+λ）y-λ（1+λ）=0因为λ＞0所以2x-y-1=0
故所求的点P的轨迹方程：y=2x-1

点评：本题考查题中的向量关系提供点的坐标关系、求轨迹方程的重要方法：相关点法，即求出相关点的坐标，将相关点的坐标代入其满足的方程，求出动点的轨迹方程．

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