Question

如果项数均为的两个数列满足且集合，则称数列是一对“项相关数列”．
(Ⅰ)设是一对“4项相关数列”，求和的值，并写出一对“项
关数列”；
(Ⅱ)是否存在“项相关数列”？若存在，试写出一对；若不存在，请说明理由；
(Ⅲ)对于确定的，若存在“项相关数列”，试证明符合条件的“项相关数列”有偶数对．

Answer 1

(Ⅰ)；；：8，4，6，5；：7，2，3，1；(Ⅱ)不存在，理由见解析；(Ⅲ)证明见解析.

解析试题分析：(Ⅰ)依题意有，，以及，求得以及的值，写出符合条件的数列即可，答案不唯一；(Ⅱ)先假设存在，利用反证法证明得出矛盾，即可证明满足已知条件的“10项相关数列”不存在.依题意有，以及成立，解出与已知矛盾，即证；(Ⅲ)对于确定的，任取一对“项相关数列”，构造新数对，
，则可证明新数对也是“项相关数列”，但是数列与是不同的数列，可知“项相关数列”都是成对对应出现的，即符合条件的 “项相关数列”有偶数对.
试题解析：(Ⅰ)依题意，，相加得，
，又，
则，.
“4项相关数列”：8，4，6，5；：7，2，3，1（不唯一）    4分
(Ⅱ)不存在．
理由如下：假设存在“10项相关数列”，
则，
相加得
．
又由已知，
所以 ，显然不可能，所以假设不成立．
从而不存在 “10项相关数列”．                      8分
(Ⅲ)对于确定的，任取一对 “项相关数列”，
令，，
（先证也必为 “项相关数列”）
因为
又因为，
很显然有，
所以也必为 “项相关数列”．
（再证数列与是不同的数列）
假设与相同，则的第二项，又，则，即，显然矛盾．
从而，符合条件的 “项相关数列”有偶数对．                   13分
考点：1.等差数列的前项和公式；2.反证法及其应用