已知函数(b为常数).
(1)函数f(x)的图像在点(1,f(1))处的切线与g(x)的图像相切,求实数b的值;
(2)设h(x)=f(x)+g(x),若函数h(x)在定义域上存在单调减区间,求实数b 的取值范围;
(3)若b>1,对于区间[1,2]上的任意两个不相等的实数x1,x2,都有|f(x1)-f(x2)|> |g(x1)-g(x2)|成立,求b的取值范围.
(1)(2)
(3)
解析试题分析:1)由f(x)求出其导函数,把切点的横坐标代入导函数中即可表示出切线的斜率,根据切点坐标和切线过原点写出切线方程,再和g(x)联立,利用根的判别求解即可.(2)通过求h′(x),结合函数h(x)在定义域上存在单调减区间,转化为存在性问题求b的取值范围.(3)要使得对于区间[1,2]上的任意两个不相等的实数x1,x2,都有|f(x1)-f(x2)|>|g(x1)-g(x2)|成立,利用导数的几何是切线的斜率,得到对于区间[1,2]上的任意实数x,|f′(x)|>|g′(x)|,列出b的不等关系,从而得出b的取值范围.解:(1)f(x)=lnx得f′(x)=,函数f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线的斜率为f′(1)=1,切线方程为:y-0=x-1即y=x-1.
由已知得它与g(x)的图象相切,将y=x-1代入得x-1=x2-bx,即
x2-(b+1)x+1=0,∴△=(b+1)2-2=0,解得b=±
-1,即实数b的值为±
-1.(2)h(x)=f(x)+g(x)=lnx+
x2-bx,∴h′(x)=
+x-b,根据函数h(x)在定义域(0,+∞)上存在单调减区间,∴存在x>0,使得
+x-b<0,即b>
+x,由于当x>0时,
+x≥2,∴b>2.∴实数b 的取值范围(2,+∞).
(3)对于区间[1,2]上的任意实数x,f′(x)=∈[
,1]. g′(x)=x-b∈[1-b,2-b],要使得对于区间[1,2]上的任意两个不相等的实数x1,x2,都有|f(x1)-f(x2)|>|g(x1)-g(x2)|成立,若用注意到f(x)是增函数,不妨设x1>x2,则f(x1)>f(x2),问题转化为|f(x1)-f(x2)|>|g(x1)-g(x2)|等价于-f(x1)+f(x2)<g(x1)-g(x2)<f(x1)-f(x2)从而f(x1)-g(x1)>f(x2)-g(x2)且f(x1)+g(x1)>f(x2)+g(x2),即f(x)-g(x)与f(x)+g(x)都是增函数,利用导数的几何是切线的斜率,得到|f′(x)|>|g′(x)|,即
>|b-x|,于是x-
≤b≤x+
即(x-
)max≤b≤(x+
)min,∴
≤b≤2.则b的取值范围[
(1)
;
(2)b的取值范围为
考点:函数单调性
点评:对于已知函数单调性,求参数范围问题的常见解法;设函数f(x)在(a,b)上可导,若f(x)在(a,b)上是增函数,则可得f′(x)≥0,从而建立了关于待求参数的不等式,同理,若f(x)在(a,b)上是减函数,,则可得f′(x)≤0.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
对于在区间上有意义的两个函数
,如果对于任意的
,都有
则称
在区间
上是“接近的”两个函数,否则称它们在区间
上是“非接近的”两个函数。现有两个函数
给定一个区间
。
(1)若在区间
有意义,求实数
的取值范围;
(2)讨论在区间
上是否是“接近的”。
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