Question

如图ABCD—A₁B₁C₁D₁是正四棱柱，侧棱长为1，底面边长为2，E是棱BC的中点.
(1)求三棱锥D₁—DBC的体积；
(2)证明BD₁∥平面C₁DE；
(3)求面C₁DE与面CDE所成二面角的正切值.

Answer 1

(1). (2) 同解析     
(3)面C₁DE与面CDE所成二面角的正切值为.

(1)解析：.
(2)证明：记D₁C与DC₁的交点为O，连结OE.
∵O是CD₁的中点，E是BC的中点，∴EO∥BD₁.
∵BD₁平面C₁DE，EO平面C₁DE，∴BD₁∥平面C₁DE.
(3)解析：如图2，过C作CH⊥DE于H，连结C₁H.在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，C₁C⊥平面ABCD，∴C₁H⊥DE，∠C₁HC是面C₁DE与面CDE所成二面角的平面角.

∵DC=2，CC₁=1，CE=1，
∴
∴tan C₁HC=，
即面C₁DE与面CDE所成二面角的正切值为.