Question

【题目】在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，M是PD的中点，AC⊥AD，BA⊥BC，PC=AC=2BC，∠ACD=∠ACB．
（1）求证：PA⊥CM；
（2）求二面角M﹣AC﹣P的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：取PA的中点N，连接MN，NC，

∵MN为△PAD的中位线，∴MN∥AD，

∵PC⊥底面ABCD，∴PC⊥AD，

又∵AC⊥AD，PC∩AD=C，∴AD⊥平面PAC，

∴AD⊥PA，则MN⊥PA，

∵PC=AC，N为PA的中点，∴CN⊥PA，

∵MN∩NC=N，∴PA⊥平面MNC，

又∵CM平面MNC，∴PA⊥CM

（2）解：设PC=AC=1，则BC= ，

∵BA⊥BC，∴cos ，

∴∠ACD=∠ACB=60°，

又∵AC⊥CD，∴CD=2．

以B为坐标原点，以BA、CB所在直线分别为x、y轴，以过B点和PC平行的直线为z轴距离如图所示坐标系．

则A（ ，0，0），C（0，﹣ ，0），D（ ，﹣ ，0），P（0，﹣ ，1），

∴M（ ，﹣1， ）．

， ．

∵DA⊥平面PAC，

∴ 是平面PAC的一个法向量．

设 是平面ACM的一个法向量，

则 ，即 ，令x=1，得 ．

∴|cos＜ ＞|=| |=| |= ．

由图可知，二面角M﹣AC﹣P为锐角，

∴二面角M﹣AC﹣P的余弦值为 ．

【解析】（1）取PA的中点N，连接MN，NC，由三角形中位线定理可得MN∥AD，由PC⊥底面ABCD，得PC⊥AD，结合AC⊥AD，可得AD⊥平面PAC，进一步得到MN⊥PA，再由等腰三角形的性质可知CN⊥PA，由线面垂直的判定得到PA⊥平面MNC，则有PA⊥CM；（2）设PC=AC=1，解三角形可得CD=2．以B为坐标原点，以BA、CB所在直线分别为x、y轴，以过B点和PC平行的直线为z轴距离如图所示坐标系．求得A，C，D，P的坐标，进一步求出平面PAC与平面ACM的一个法向量，利用两法向量所成角的余弦值可得二面角M﹣AC﹣P的余弦值．
【考点精析】解答此题的关键在于理解空间中直线与直线之间的位置关系的相关知识，掌握相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点．