Question

（13分）已知F₁、F₂是椭圆c₁：(a>b>0)的左、右焦点，A为右顶点，P为椭圆c₁上任意一点，且最大值的取值范围是[c²,3c²]，c²=a²-b².（1）求椭圆c₁离心率e的取值范围；（2）设双曲线c₂以椭圆c₁焦点为顶点，顶点为焦点，B是双曲线c₂在第一象限上任意一点，当椭圆c₁离心率e取得最小值时，问是否存在正常数λ使∠BAF₁=λ∠BF₁A恒成立？若存在，求出λ值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

（1）（2）λ=2

解析:

（1）设P(x,y)，则，.∴，将代入得，0≤x²≤a²，当x²=a²时得，又c²≤b²≤3c²，即c²≤a²-c²≤3c²，∴.∴.

（2）当时，a=2c，b=，∴，A(2c,0).设B(x₀,y₀),(x₀,y₀>0)，则，当AB⊥x轴时，则，∴，故.由此猜想λ=2可使总成立，证明如下：

  当x₀≠2c时，，，∴,

将代入得.

又∵2∠BF₁A与∠BAF₁同在区间(0,)∪()内，∴2∠BF₁A=∠BAF₁.

故存在λ=2，使恒成立.