【题目】已知函数 sin(π﹣2x)
(1)若 ,求f(x)的取值范围;
(2)求函数 f(x)的单调增区间.
【答案】
(1)解:函数 sin(π﹣2x)
=2cos2x+ sin2x
=cos2x+ sin2x+1
=2sin(2x+ )+1,
当 时, ,
故 ,
,
所以f(x)的取值范围是[0,3]
(2)解:由题意有 ,
解得 ,
即 +2kπ≤2x+ < +2kπ,k∈Z,
所以 +kπ≤x< +kπ,k∈Z;
所以函数 的单调增区间为[ +kπ, +kπ),k∈Z.
【解析】(1)化函数f(x)为正弦型函数,求出 时f(x)的取值范围即可;(2)根据复合函数的单调性列出不等式组,求出x的取值范围即可.
【考点精析】通过灵活运用复合函数单调性的判断方法和三角函数的最值,掌握复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x),y=f(u)的单调性密切相关,其规律:“同增异减”;函数,当时,取得最小值为;当时,取得最大值为,则,,即可以解答此题.
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【题目】已知函数 .
(1)判断f(x)的奇偶性;
(2)用单调性的定义证明f(x)为R上的增函数;
(3)若对任意的t∈R,不等式f(mt2+1)+f(1﹣mt)>0恒成立,求实数m的取值范围.
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【题目】已知集合A={x|2x﹣6≤2﹣2x≤1},B={x|x∈A∩N},C={x|a≤x≤a+1}. (Ⅰ)写出集合B的所有子集;
(Ⅱ)若A∩C=C,求实数a的取值范围.
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【题目】给出如下四个命题: ①若“p∨q”为真命题,则p,q均为真命题;
②“若a>b,则2a>2b﹣1”的否命题为“若a≤b,则2a≤2b﹣1”;
③“x∈R,x2+x≥1”的否定是“x0∈R,x +x0≤1”;
④“x>1”是“x>0”的充分不必要条件.
其中不正确的命题是( )
A.①②
B.②③
C.①③
D.③④
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【题目】在奥运会射箭决赛中,参赛号码为1~4号的4名射箭运动员参加射箭比赛.
(1)通过抽签将他们安排到1~4号靶位,试求恰有2名运动员所抽靶位号与其参赛号码相同的概率;
(2)记1号、2号射箭运动员射箭的环数为ξ(ξ所有取值为0,1,2,3,…,10)分别为P1 , P2 . 根据教练员提供的资料,其概率分布如下表:
ξ | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
P1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0.06 | 0.04 | 0.06 | 0.3 | 0.2 | 0.3 | 0.04 |
P2 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0.04 | 0.05 | 0.05 | 0.2 | 0.32 | 0.32 | 0.02 |
①若1,2号运动员各射箭一次,求两人中至少有一人命中9环的概率;
②判断1号、2号射箭运动员谁射箭的水平高?并说明理由.
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【题目】已知 、 是两个不共线的向量,且 =(cosα,sinα), =(cosβ,sinβ).
(1)求证: + 与 ﹣ 垂直;
(2)若α∈(﹣ , ),β= ,且| + |= ,求sinα.
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【题目】如图所示,正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为1,E、F分别是棱AA′,CC′的中点,过直线E,F的平面分别与棱BB′、DD′交于M、N,设BM=x,x∈(0,1),给出以下四个命题:
①四边形MENF为平行四边形;
②若四边形MENF面积s=f(x),x∈(0,1),则f(x)有最小值;
③若四棱锥A﹣MENF的体积V=p(x),x∈(0,1),则p(x)为常函数;
④若多面体ABCD﹣MENF的体积V=h(x),x∈( ,1),则h(x)为单调函数;
其中假命题为 ( )
A.①
B.②
C.③
D.④
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【题目】如图,四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为直角梯形,AD‖BC,且 ,BC⊥DC,∠BAD=60°,平面PAD⊥底面ABCD,E为AD的中点,△PAD为等边三角形,M是棱PC上的一点,设 (M与C不重合).
(1)求证:CD⊥DP;
(2)若PA∥平面BME,求k的值;
(3)若二面角M﹣BE﹣A的平面角为150°,求k的值.
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