Question

已知数列{a_n}满足a₁=

1

2

，a_n-1-a_n=

anan-1

n(n-1)

，（n≥2），则该数列的通项公式a_n=

 

．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：根据条件，进行转化，利用裂项法以及累加法即可得到结论．

解答： 解：由a_n-1-a_n=

anan-1

n(n-1)

得

an-1-an

anan-1

=

1

n(n-1)

，
即

1

an

-

1

an-1

=

1

n-1

-

1

n

，n≥2，
即

1

a2

-

1

a1

=1-

1

2

，

1

a3

-

1

a2

=

1

2

-

1

3

，
…

1

an

-

1

an-1

=

1

n-1

-

1

n

，
等式两边同时相加得

1

an

-

1

a1

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n-1

-

1

n

=1-

1

n

，
即

1

an

=1-

1

n

+

1

a1

=1-

1

n

+2=3-

1

n

=

3n-1

n

，
则a_n=

n

3n-1

，n≥2，
当n=1时，a₁=

1

2

满足a_n=

n

3n-1

，
故该数列的通项公式a_n=

n

3n-1

，
故答案为：

n

3n-1

．

点评：本题主要考查数列通项公式的求解，根据递推数列，利用裂项法结合累加法是解决本题的关键．