【题目】已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,其中m是常数.
(Ⅰ)判断f(x)的单调性,并用定义证明;
(Ⅱ)若对任意x∈[﹣3,1],有f(tx)+f(2t﹣1)≤0恒成立,求实数t的取值范围.
【答案】(Ⅰ)增函数,见解析(Ⅱ).
【解析】
(Ⅰ)根据函数为奇函数得到m=1,再设x1<x2,再计算得到证明.
(Ⅱ)利用函数奇偶性变换得到f(tx)≤f(1﹣2t)得到(x+2)t≤1,得到
计算得到答案.
(Ⅰ)f(x)是R上的增函数,证明如下:
由f(x)是奇函数,所以f(x)+f(﹣x)=0,
∴,化为∴m=1,
∴f(x)=ex﹣e﹣x,
设x1<x2,则,
由于y=ex是增函数,所以,
∴f(x1)﹣f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),
∴函数f(x)是R上的增函数;
(Ⅱ)由于f(x)是R上的奇函数,所以由f(tx)+f(2t﹣1)≤0恒成立
可得f(tx)≤﹣f(2t﹣1)=f(1﹣2t),
∴tx≤1﹣2t,(x+2)t≤1,
当x∈[﹣3,1]时,上式恒成立,则,解得,
∴实数t的取值范围为
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【题目】已知椭圆的左、右焦点坐标为别为,,离心率是. 椭圆的左、右顶点分别记为,.点是椭圆上位于轴上方的动点,直线,与直线分别交于,两点.
(Ⅰ)求椭圆的方程.
(Ⅱ)求线段长度的最小值.
(Ⅲ)当线段的长度最小时,在椭圆上的点满足:的面积为.试确定点的个数.
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【题目】已知抛物线的焦点为,过的直线交轴正半轴于点,交抛物线于两点,其中点在第一象限.
(Ⅰ)求证:以线段为直径的圆与轴相切;
(Ⅱ)若,,,求的取值范围.
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【题目】如图,设抛物线的准线与轴交于椭圆的右焦点,为左焦点,椭圆的离心率为,抛物线与椭圆交于轴上方一点,连接并延长交于点为上一动点,且在之间移动.
(1)当取最小值时,求和的方程;
(2)若的边长恰好是三个连接的自然数,求面积的最大值.
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【题目】十九大提出,坚决打赢脱贫攻坚战,某帮扶单位为帮助定点扶贫村真脱贫,坚持扶贫同扶智相结合,帮助贫困村种植蜜柚,并利用电商进行销售,为了更好地销售,现从该村的蜜柚树上随机摘下了100个蜜柚进行测重,其质量分别在, , , , , (单位:克)中,其频率分布直方图如图所示.
(1)按分层抽样的方法从质量落在, 的蜜柚中抽取5个,再从这5个蜜柚中随机抽取2个,求这2个蜜柚质量均小于2000克的概率;
(2)以各组数据的中间数代表这组数据的平均水平,以频率代表概率,已知该贫困村的蜜柚树上大约还有5000个蜜柚等待出售,某电商提出两种收购方案:
A.所有蜜柚均以40元/千克收购;
B.低于2250克的蜜柚以60元/个收购,高于或等于2250克的以80元/个收购.
请你通过计算为该村选择收益最好的方案.
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【题目】已知椭圆的离心率,连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4。
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【题目】下列说法中正确的个数是( )
①命题:“、,若,则”,用反证法证明时应假设或;
②若,则、中至少有一个大于;
③若、、、、成等比数列,则;
④命题:“,使得”的否定形式是:“,总有”.
A.B.C.D.
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【题目】已知 ,则关于的方程,给出下列五个命题:①存在实数,使得该方程没有实根;
②存在实数,使得该方程恰有个实根;
③存在实数,使得该方程恰有个不同实根;
④存在实数,使得该方程恰有个不同实根;
⑤存在实数,使得该方程恰有个不同实根.
其中正确的命题的个数是( )
A. B. C. D.
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