【题目】设过曲线上任意一点处的切线为,总存在过曲线上一点处的切线,使得,则实数的取值范围为_____________________.
【答案】
【解析】分析:求出函数f(x)=﹣ex﹣x+3a的导函数,进一步求得∈(0,1),再求出g(x)的导函数的范围,然后把过曲线f(x)=﹣ex﹣x+3a上任意一点的切线为l1,总存在过曲线g(x)=a(x﹣1)+2cosx上一点处的切线l2,使得l1⊥l2转化为集合间的关系求解.
详解:由f(x)=﹣ex﹣x+3a,得f′(x)=﹣ex﹣1,
由g(x)=(x﹣1)a+2cosx,得g′(x)=a﹣2sinx,
又﹣2sinx∈[﹣2,2],
∴a﹣2sinx∈[﹣2+a,2+a],
要使过曲线f(x)=﹣ex﹣x+3a上任意一点的切线为l1,
总存在过曲线g(x)=a(x﹣1)+2cosx上一点处的切线l2,使得l1⊥l2,
所以(﹣ex﹣1)(a﹣2sinx)=-1,所以(a﹣2sinx)=,
∵ex+1>1,∴∈(0,1),
所以(0,1)[﹣2+a,2+a],
则,解得﹣1≤a≤2.
即a的取值范围为[﹣1,2].故答案为:.
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【题目】某大学餐饮中心为了了解新生的饮食习惯,在某学院大一年级名学生中进行了抽样调查,发现喜欢甜品的占.这名学生中南方学生共人。南方学生中有人不喜欢甜品.
(1)完成下列列联表:
喜欢甜品 | 不喜欢甜品 | 合计 | |
南方学生 | |||
北方学生 | |||
合计 |
(2)根据表中数据,问是否有的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”;
(3)已知在被调查的南方学生中有名数学系的学生,其中名不喜欢甜品;有名物理系的学生,其中名不喜欢甜品.现从这两个系的学生中,各随机抽取人,记抽出的人中不喜欢甜品的人数为,求的分布列和数学期望.
附:.
0.15 | 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
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【题目】已知A,B,C是椭圆W: 上的三个点,O是坐标原点.
(1)当点B是W的右顶点,且四边形OABC为菱形时,求此菱形的面积;
(2)当点B不是W的顶点时,判断四边形OABC是否可能为菱形,并说明理由.
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【题目】在平面直角坐标系中,已知函数的图像与直线相切,其中是自然对数的底数.
(1)求实数的值;
(2)设函数在区间内有两个极值点.
①求实数的取值范围;
②设函数的极大值和极小值的差为,求实数的取值范围 .
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【题目】如图,圆锥顶点为P,底面圆心为O,其母线与底面所成的角为22.5°,AB和CD是底面圆O上的两条平行的弦,轴OP与平面PCD所成的角为60°,
(1)证明:平面PAB与平面PCD的交线平行于底面;
(2)求cos∠COD.
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【题目】已知圆:.
(Ⅰ)求过点的圆的切线方程;
(Ⅱ)设圆与轴相交于,两点,点为圆上异于,的任意一点,直线,分别与直线交于,两点.
(ⅰ)当点的坐标为时,求以为直径的圆的圆心坐标及半径;
(ⅱ)当点在圆上运动时,以为直径的圆被轴截得的弦长是否为定值?请说明理由.
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【题目】某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1节,则在课程表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为(用数字作答).
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【题目】如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AB=4,AC=BC=3,D为AB的中点
(1)求点C到平面A1ABB1的距离;
(2)若AB1⊥A1C,求二面角A1﹣CD﹣C1的平面角的余弦值.
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【题目】如图,已知等腰梯形中,是的中点,,将沿着翻折成,使平面平面.
(Ⅰ)求证:;
(Ⅱ)求二面角的余弦值;
(Ⅲ)在线段上是否存在点P,使得平面,若存在,求出的值;若不存在,说明理由.
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