Question

如图，已知E、F为平面上的两个定点|EF|=6，|FG|=10，且2

EH

=

EG

，

HP

•

GE

=0（G为动点，P是HP和GF的交点）．
（Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系求出点P的轨迹方程；
（Ⅱ）若点P的轨迹上存在两个不同的点A、B，且线段AB的中垂线与直线EF相交于一点C，证明|OC|＜

9

5

（O为EF的中点）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）以EF所在的直线为x轴，EF的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系．由题设2

EH

=

EG

，

HP

•

EG

=0，|PG|=|PE|，而|PF|+|PE|=|PG|=2a．由此能求出点P的轨迹方程．
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₀，0）．（x₁-x₀）²+y₁²=（x₂-x₀）²+y₂²．由A、B在轨迹上，知

x12

25

+

y12

16

=1，

x22

25

+

y22

16

=1．由此入手能够证明|OC|＜

9

5

．

解答：解：（Ⅰ）以EF所在的直线为x轴，EF的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系．
由题设2

EH

=

EG

，

HP

•

EG

=0，
∴|PG|=|PE|，而|PF|+|PE|=|PG|=2a．
∴点P是以E、F为焦点、长轴长为10的椭圆．
故点P的轨迹方程是

x2

25

+

y2

16

=1．…（4分）
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₀，0）．
∴x₁≠x₂，且|CA|=|CB|，即（x₁-x₀）²+y₁²=（x₂-x₀）²+y₂²．
又A、B在轨迹上，∴

x12

25

+

y12

16

=1，

x22

25

+

y22

16

=1．
即y12=16-

16

25

x12，y22=16-

16

25

x22．
代入整理，得2(x2-x1)•x0=

9

25

(x22-x12)．
∵x₁≠x₂，∴x0=

9(x1+x2)

50

．
∵-5≤x₁≤5，-5≤x₂≤5，∴-10≤x₁+x₂≤10．
∵x₁≠x₂，∴-10＜x₁+x₂＜10．
∴-

9

5

＜x0＜

9

5

，即|OC|＜

9

5

．…（13分）

点评：本题考查建立适当的平面直角坐标系求出点P的轨迹方程，证明|OC|＜

9

5

．解题时要认真审题，恰当地建立平面直角坐标系，灵活运用圆锥曲线的性质，合理地进行等价转化．