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    【题目】如图，垂直圆O所在的平面，是圆O的一条直径，C为圆周上异于A，B的动点，D为弦的中点，.

    （1）证明：平面平面；

    （2）若，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

    【答案】（1）见解析（2）

    【解析】

    （1）根据垂直圆O所在的平面，有，易证.由线面垂直的判定定理得到平面，然后由面面垂直的判定定理证明.

    （2）建立空间直角坐标系，分别求得平面，平面的一个法向量，代入二面角的向量公式求解.

    （1）证明：因为垂直圆O所在的平面，所以，

    因为D为弦的中点，O为圆O的圆心，所以.

    因为，所以平面，

    又平面，所以平面平面.

    （2）如图所示：

    以O为原点，建立空间直角坐标系.

    则

    从而

    设平面的法向量为，

    则，即

    令，得.

    由（1）可得平面的一个法向量为

    则平面与平面所成锐二面角的余弦值为

    练习册系列答案
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】某土特产超市为预估2020年元旦期间游客购买土特产的情况，对2019年元旦期间的90位游客购买情况进行统计，得到如下人数分布表.

    购买金额（元）

    人数

    10

    15

    20

    15

    20

    10

    （1）根据以上数据完成列联表，并判断是否有的把握认为购买金额是否少于60元与性别有关.

    不少于60元

    少于60元

    合计

    男

    40

    女

    18

    合计

    （2）为吸引游客，该超市推出一种优惠方案，购买金额不少于60元可抽奖3次，每次中奖概率为（每次抽奖互不影响，且的值等于人数分布表中购买金额不少于60元的频率），中奖1次减5元，中奖2次减10元，中奖3次减15元.若游客甲计划购买80元的土特产，请列出实际付款数（元）的分布列并求其数学期望.

    附：参考公式和数据：，.

    附表：

    2.072

    2.706

    3.841

    6.635

    7.879

    0.150

    0.100

    0.050

    0.010

    0.005

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】“总把新桃换旧符”（王安石）、“灯前小草写桃符”（陆游），春节是中华民族的传统节日，在宋代人们用写“桃符”的方式来祈福避祸，而现代人们通过贴“福”字、贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿，某商家在春节前开展商品促销活动，顾客凡购物金额满50元，则可以从“福”字、春联和灯笼这三类礼品中任意免费领取一件，若有4名顾客都领取一件礼品，则他们中有且仅有2人领取的礼品种类相同的概率是（ ）

    A.B.C.D.

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】某工厂，两条相互独立的生产线生产同款产品，在产量一样的情况下通过日常监控得知，生产线生产的产品为合格品的概率分别为和.

    （1）从，生产线上各抽检一件产品，若使得至少有一件合格的概率不低于，求的最小值.

    （2）假设不合格的产品均可进行返工修复为合格品，以（1）中确定的作为的值.

    ①已知，生产线的不合格产品返工后每件产品可分别挽回损失元和元。若从两条生产线上各随机抽检件产品，以挽回损失的平均数为判断依据，估计哪条生产线挽回的损失较多？

    ②若最终的合格品（包括返工修复后的合格品）按照一、二、三等级分类后，每件分别获利元、元、元，现从，生产线的最终合格品中各随机抽取件进行检测，结果统计如下图；用样本的频率分布估计总体分布，记该工厂生产一件产品的利润为，求的分布列并估算该厂产量件时利润的期望值.

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为，（t为参数），在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标中，曲线的极坐标方程为.

    （1）将与的方程化为极坐标方程；

    （2）若曲线与的公共点都在上，，求r.

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】某手机商家为了更好地制定手机销售策略，随机对顾客进行了一次更换手机时间间隔的调查.从更换手机的时间间隔不少于3个月且不超过24个月的顾客中选取350名作为调查对象，其中男性顾客和女性顾客的比为，商家认为一年以内（含一年）更换手机为频繁更换手机，否则视为未频繁更换手机.现按照性别采用分层抽样的方法从中抽取105人，并按性别分为两组，得到如下表所示的频数分布表：

    事件间隔（月）

    男性

    x

    8

    9

    18

    12

    8

    4

    女性

    y

    2

    5

    13

    11

    7

    2

    （1）计算表格中x，y的值；

    （2）若以频率作为概率，从已抽取的105且更换手机时间间隔为3至6个月（含3个月和6个月）的顾客中，随机抽取2人，求这2人均为男性的概率；

    （3）请根据频率分布表填写列联表，并判断是否有以上的把握认为“频繁更换手机与性别有关”.

    频繁更换手机

    未频繁更换手机

    合计

    男性顾客

    女性顾客

    合计

    附表及公式：

    P（）

    0.100

    0.050

    0.010

    0.001

    2.706

    3.841

    6.635

    10.828

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】已知函数，，其中，为自然对数的底数.

    （1）求函数的最小值；

    （2）若对于任意的，都存在唯一的，使得，求实数的取值范围.

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    （1）求点的轨迹的方程；

    （2）若点，是直线上两个不同的点，且的内切圆方程为，直线的斜率为，求的取值范围.

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    【题目】已知函数f（x）＝（k＋）lnx＋，k∈[4，＋∞），曲线y＝f（x）上总存在两点M（x1，y1），N（x2，y2），使曲线y＝f（x）在M，N两点处的切线互相平行，则x1＋x2的取值范围为

    A. （，＋∞） B. （，＋∞） C. [，＋∞） D. [，＋∞）

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