Question

已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－ (p>2)．若拋物线C：y2＝2px上的点到直线l1和直线l2的距离之和的最小值为2.

(1)求抛物线C的方程；

(2)若拋物线上任意一点M处的切线l与直线l2交于点N，试问在x轴上是否存在定点Q，使Q点在以MN为直径的圆上，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

 

Answer 1

（1）y2＝4x（2）存在定点Q(1，0)，使Q在以MN为直径的圆上．

【解析】(1)由定义知l2为抛物线的准线，抛物线焦点F，由抛物线定义知抛物线上点到直线l2的距离等于其到焦点F的距离．

所以抛物线上的点到直线l1和直线l2的距离之和的最小值为焦点F到直线l1的距离．

所以2＝，则p＝2，所以抛物线方程为y2＝4x.

(2)设M(x0，y0)，由题意知直线斜率存在，设为k，且k≠0，所以直线l方程为y－y0＝k(x－x0)，

代入y2＝4x消x得ky2－4y＋4y0－k＝0.

由Δ＝16－4k(4y0－k)＝0，得k＝.

所以直线l方程为y－y0＝ (x－x0)，

令x＝－1，又由＝4x0，得N.

设Q(x1，0)则＝(x0－x1，y0)，＝.

由题意知·＝0，即(x0－x1)(－1－x1)＋＝0，把＝4x0代入，得(1－x1)x0＋＋x1－2＝0，因为对任意的x0等式恒成立，所以

所以x1＝1，即在x轴上存在定点Q(1，0)，使Q在以MN为直径的圆上．