Question

【题目】如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，AC，BD相交于点O，EF∥AB，EFAB，平面BCF⊥平面ABCD，BF＝CF，G为BC的中点，求证：

（1）OG∥平面ABFE；

（2）AC⊥平面BDE．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）见解析

【解析】

（1）根据中位线的性质证明OG∥AB后即可得证；

（2）连接FG、EO，由题意EO⊥平面ABCD，可得EO⊥AC，由线面垂直的判定即可得解.

证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，AC，BD相交于点O，

∴O是AC中点，

∵G为BC的中点，∴OG∥AB，

∵OG平面ABFE，AB平面ABFE，

∴OG∥平面ABFE．

（2）连接FG、EO，

∵四边形ABCD是菱形，AC，BD相交于点O，

∴AC⊥BD，O是AC中点，

∵G为BC的中点，∵EF∥AB，EFAB，平面BCF⊥平面ABCD，BF＝CF，

∴FG⊥平面ABCD，∴EO⊥平面ABCD，∴EO⊥AC，

∵EO∩BD＝O，∴AC⊥平面BDE．