Question

【题目】等比数列{an}的前n项和为Sn，已知对任意的n∈N*，点(n，Sn)均在函数y＝bx＋r(b＞0且b≠1，b，r均为常数)的图象上．

(1)求r的值；

(2)当b＝2时，记bn＝2(log2an＋1)(n∈N*)，证明：对任意的n∈N*，不等式··…·＞成立．

Answer 1

【答案】见解析

【解析】(1)由题意，Sn＝bn＋r，当n≥2时，Sn－1＝bn－1＋r.

所以an＝Sn－Sn－1＝bn－1(b－1)．

由于b＞0且b≠1，

所以n≥2时，{an}是以b为公比的等比数列．

又a1＝b＋r，a2＝b(b－1)，

所以＝b，即＝b，解得r＝－1.

(2)由(1)及b＝2知an＝2n－1，因此bn＝2(log2an＋1)＝2n(n∈N*)，

所证不等式为··…·＞.

①当n＝1时，左式＝，右式＝，

左式＞右式，所以结论成立．

②假设n＝k(k≥1，k∈N*)时结论成立，即··…·＞，

则当n＝k＋1时，··…··＞·＝.

要证当n＝k＋1时结论成立，只需证≥，

即证≥.

由基本不等式得＝≥成立，

故≥成立，

所以，当n＝k＋1时，结论成立．

由①②可知，n∈N*时，不等式··…·＞成立．