Question

设函数f(x)=

1

x+2

+lg

1-x

1+x

（1）求f（x）的定义域．
（2）判断函数f（x）的单调性并证明．
（3）解关于x的不等式f[x(x-

1

2

)]＜

1

2

．

Answer 1

分析：（1）由函数解析式中分母不等于0，且真数大于0，求出f（x）的定义域；
（2）利用f（x）的导数判定并证明f（x）在定义域内是减函数；
（3）根据f（0）=

1

2

，把不等式f[x(x-

1

2

)]＜

1

2

化为f[x（x-

1

2

）]＜f（0）；由f（x）在定义域内是减函数，可以求出不等式的解集．

解答：解：（1）∵函数f(x)=

1

x+2

+lg

1-x

1+x

，
∴

x+2≠0 1-x 1+x ＞0

，
解得-1＜x＜1，
∴f（x）的定义域是（-1，1）；
（2）函数f（x）在定义域（-1，1）内是减函数，证明如下；
∵函数f(x)=

1

x+2

+lg

1-x

1+x

，
∴f′（x）=-

1

(x+2)2

+

1

ln10

•

1+x

1-x

•

-(1+x)-(1-x)

(1+x)2

=-

1

(x+2)2

-

1

ln10

•

2

1-x2

∵x∈（-1，1），
∴f′（x）＜0∴f（x）是减函数；
（3）∵函数f(x)=

1

x+2

+lg

1-x

1+x

，
∴f（0）=

1

2

；
∴不等式f[x(x-

1

2

)]＜

1

2

可化为f[x（x-

1

2

）]＜f（0）；
又∵f（x）在定义域（-1，1）内是减函数，
∴

-1＜x(x- 1 2 )＜1 x(x- 1 2 )＞0

，
解得

1- 17

4

＜x＜0，或

1

2

＜x＜

1+ 17

4

；
∴不等式的解集为(

1- 17

4

，0)∪(

1

2

，

1+ 17

4

)．

点评：本题考查了求函数的定义域以及判定函数的单调性和利用单调性解不等式的问题，是综合题目．