Question

10．已知二次函数f（x）=ax²+bx+1．
（1）若b=a+1，且对任意a∈[-1，1]时都有f（x）≥0成立，求实数x的取值范围；
（2）若对x₁，x₂∈R，x₁＜x₂，f（x₁）≠f（x₂），方程f（x）=$\frac{1}{2}$[f（x₁）+f（x₂）]有两个不等实根，证明必有一根属于（x₁，x₂）．

Answer 1

分析 （1）若b=a+1，则函数f（x）=ax²+（a+1）x+1=（x²+x）a+x+1≥0对任意a∈[-1，1]都成立，则$\left\{\begin{array}{l}-{（x}^{2}+x）+x+1≥0\\{（x}^{2}+x）+x+1≥0\end{array}\right.$，解得答案；
（2）令g（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$[f（x₁ ）+f（x₂）]，证明g（x₁）•g（x₂）＜0，可得g（x）=0在（x₁，x₂）内必有一实根，问题得证

解答 解：（1）若b=a+1，则函数f（x）=ax²+（a+1）x+1=（x²+x）a+x+1≥0对任意a∈[-1，1]都成立，
则$\left\{\begin{array}{l}-{（x}^{2}+x）+x+1≥0\\{（x}^{2}+x）+x+1≥0\end{array}\right.$，解得：x∈[-1，1]；
证明：（2）令g（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$[f（x₁）+f（x₂）]，
则g（x₁）=f（x₁）-$\frac{1}{2}$[f（x₁）+f（x₂）]=$\frac{1}{2}$[f（x₁）-f（x₂）]，
g（x₂）=f（x₂）-$\frac{1}{2}$[f（x₁）+f（x₂）]=-$\frac{1}{2}$[f（x₁）-f（x₂）]，
∴g（x₁）•g（x₂）=$\frac{1}{2}$[f（x₁）-f（x₂）]•（-$\frac{1}{2}$）[f（x₁）-f（x₂）]=-$\frac{1}{4}$[f（x₁）-f（x₂）]²．
∵f（x₁）≠f（x₂），
∴g（x₁）•g（x₂）＜0．
∴g（x）=0在（x₁，x₂）内必有一实根．
∴方程f（x）=$\frac{1}{2}$[f（x₁）+f（x₂）]在（x₁，x₂）内必有一实根．
再由 g（x₁）•g（x₂）＜0可得二次函数g（x）的函数值可正可负，
故函数g（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$[f（x₁）+f（x₂）]的图象与x轴一定有两个交点，
故方程f（x）=$\frac{1}{2}$[f（x₁）+f（x₂）]有两个不等实根．
综上可得，方程f（x）=$\frac{1}{2}$[f（x₁）+f（x₂）]有两个不等实根，且必有一实根属于（x₁，x₂）．

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．