【题目】已知函数.
(1)求函数的单调区间和极值;
(2)若有两个零点,求实数
的范围.
【答案】(1)增区间为,减区间为
;极小值
,无极大值.(2)
【解析】试题分析:(1)求出函数的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间,进而求得函数的极值;
(2)求出函数的导数,通过讨论的范围,确定函数的单调性,求出实数
的范围.
试题解析:(1)根据,
令,解得
,当
变化时,
,
的变化情况如下表:
递减 | 递增 |
∴函数的增区间为
,减区间为
;
函数在
处取的极小值
,无极大值.
(2)由,则
,
当时,
,易知函数
只有一个零点,不符合题意,
当时,在
上
,
单调递减;在
上
,
单调递增,又
,
,当
时,
,所以函数
有两个零点,
当时,在
和
上
,
单调递增,在
上
,
单调递减.又
,所以函数
至多一个零点,不符合题意,
当时,在
和
上
,
单调递增,在
上
,
单调递减.
又,所以函数
至多一个零点,不符合题意,
当时,
,函数在
上单调递增,所以函数
至多一个零点,不符合题意,
综上,实数的取值范围是
.
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【题目】北京时间3月15日下午,谷歌围棋人工智能与韩国棋手李世石进行最后一轮较量,
获得本场比赛胜利,最终人机大战总比分定格
.人机大战也引发全民对围棋的关注,某学校社团为调查学生学习围棋的情况,随机抽取了100名学生进行调查.根据调查结果绘制的学生日均学习围棋时间的频率分布直方图(如图所示),将日均学习围棋时间不低于40分钟的学生称为“围棋迷”.
(Ⅰ)根据已知条件完成下面的列联表,并据此资料你是否有的把握认为“围棋迷”与性别有关?
非围棋迷 | 围棋迷 | 合计 | |
男 | |||
女 | 10 | 55 | |
合计 |
(Ⅱ)将上述调查所得到的频率视为概率,现在从该地区大量学生中,采用随机抽样方法每次抽取1名学生,抽取3次,记被抽取的3名淡定生中的“围棋迷”人数为。若每次抽取的结果是相互独立的,求
的平均值和方差.
附: ,其中
.
0.05 | 0.01 | |
6.635 |
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【题目】根据某水文观测点的历史统计数据,得到某河流水位(单位:米)的频率分布直方图如下:将河流水位在以上6段的频率作为相应段的概率,并假设每年河流水位互不影响.
(Ⅰ)求未来三年,至多有1年河流水位的概率(结果用分数表示);
(Ⅱ)该河流对沿河企业影响如下:当
时,不会造成影响;当
时,损失10000元;当
时,损失60000元,为减少损失,现有三种应对方案:
方案一:防御35米的最高水位,需要工程费用3800元;
方案二:防御不超过31米的水位,需要工程费用2000元;
方案三:不采用措施:试比较哪种方案较好,并说明理由.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系中,已知圆的圆心坐标为
,半径为
,以坐标原点为极点,
轴正半轴为极轴,建立极坐标系,直线
的参数方程为:
(
为参数)
(1)求圆和直线
的极坐标方程;
(2)点 的极坐标为
,直线
与圆
相较于
,求
的值.
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【题目】已知椭圆经过点
,且两焦点与短轴的一个端点构成等腰直角三角形.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)若圆的任意一条切线
与椭圆E相交于P,Q两点,试问:
是否为定值? 若是,求这个定值;若不是,说明理由.
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【题目】已知射手甲射击一次,命中9环(含9环)以上的概率为0.56,命中8环的概率为0.22,命中7环的概率为0.12.
0.50 | 0.40 | 0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
0.455 | 0.708 | 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
(1)求甲射击一次,命中不足8环的概率;
(2)求甲射击一次,至少命中7环的概率.
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