Question

已知函数f(x)＝x²＋2ax＋3，x∈[－4,6]．
(1)当a＝－2时，求f(x)的最值；
(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－4,6]上是单调函数；
(3)当a＝1时，求f(|x|)的单调区间．

Answer 1

(1) f(x)的最小值是－1， f(x)的最大值是35.  (2) a≤－6或a≥4. (3) f(|x|)的单调递增区间是(0,6]，单调递减区间是[－6,0]．

试题分析：(1)当a＝－2时，f(x)＝x²－4x＋3＝(x－2)²－1，
由于x∈[－4,6]，
∴f(x)在[－4,2]上单调递减，在[2,6]上单调递增，      2分
∴f(x)的最小值是f(2)＝－1，                        3分
又f(－4)＝35，f(6)＝15，故f(x)的最大值是35.       4分
(2)由于函数f(x)的图象开口向上，对称轴是x＝－a，
所以要使f(x)在[－4,6]上是单调函数，
应有－a≤－4或－a≥6，即a≤－6或a≥4.            6分
(3)当a＝1时，f(x)＝x²＋2x＋3，
∴f(|x|)＝x²＋2|x|＋3，此时定义域为x∈[－6,6]，        8分
且f(x)＝，                  10分
∴f(|x|)的单调递增区间是(0,6]，单调递减区间是[－6,0]．    12分
点评：一元二次函数的单调性与其对称轴有关，故一元二次函数的最值问题往往利用其单调性求解