Question

设函数f（x）=

sinθ

3

x³+

3 cosθ

2

x²+

3

tanθ•x，其中θ∈[0，

π

6

]，f′（x）为f（x）的导函数，则f′（1）的取值范围是（　　）

• A．[-2，2]
• B．[

  2

  ，

  3

  ]
• C．[

  2

  ，2]
• D．[

  3

  ，3]

Answer 1

分析：利用导数的运算法则可得f′（1），再利用三角函数的单调性即可得出．

解答：解：f′（x）=x2sinθ+

3

xcosθ+

3

tanθ，
∴f′（1）=sinθ+

3

cosθ+

3

tanθ
=2(

1

2

sinθ+

3

2

cosθ)+

3

tanθ
=2sin(θ+

π

3

)+

3

tanθ，
∵θ∈[0，

π

6

]，∴(θ+

π

3

)∈[

π

3

，

π

2

]，可知sin(θ+

π

3

)在θ∈[0，

π

6

]上单调递增；
又tanθ在θ∈[0，

π

6

]上单调递增，
∴f′（1）在θ∈[0，

π

6

]上单调递增，
又θ=0时，f′（1）=

3

；θ=

π

6

时，f′（1）=2+

3

×tan

π

6

=3．
∴f′（1）的取值范围是[

3

，3]．
故选：D．

点评：本题考查了导数的运算法则、三角函数的单调性，属于基础题．