Question

4．直线y=3x+1是曲线y=x³-a的一条切线，则实数a的值为-3或1．

Answer 1

分析 先对y=x³-a进行求导，设出切点，然后令导函数等于3求出切点坐标，代入到曲线方程可得答案．

解答 解：设切点为P（x₀，y₀），
对y=x³-a求导数是y'=3x²，
由题意可得3x₀²=3．∴x₀=±1．
（1）当x=1时，
∵P（x₀，y₀）在y=3x+1上，
∴y=3×1+1=4，即P（1，4）．
又P（1，4）也在y=x³-a上，
∴4=1³-a．∴a=-3．
（2）当x=-1时，
∵P（x₀，y₀）在y=3x+1上，
∴y=3×（-1）+1=-2，即P（-1，-2）．
又P（-1，-2）也在y=x³-a上，
∴-2=（-1）³-a．∴a=1．
综上可知，实数a的值为-3或1．
故答案为：-3或1．

点评 本题考查导数的运用，主要考查导数的几何意义，即函数在某点的导数值等于以该点为切点的切线的斜率，注意设出切点，考查运算能力，属于中档题．