Question

（2012•海淀区二模）某同学为研究函数f(x)=

1+x2

+

1+(1-x)2

(0≤x≤1)的性质，构造了如图所示的两个边长为1的正方形ABCD和BEFC，点P是边BC上的一个动点，设CP=x，则AP+PF=f（x）．请你参考这些信息，推知函数f（x）的图象的对称轴是

x=

1

2

；函数g（x）=4f（x）-9的零点的个数是

2

．

Answer 1

分析：从运动的观点看，当点P从C点向点B运动的过程中，在运动到BC的中点之前，PA+PF的值渐渐变小，过了中点之后又渐渐变大，可得函数f（x）的图象的对称轴；函数g（x）=4f（x）-9的零点的个数就是f（x）=

9

4

的解的个数．

解答：解：由题意可得函数f（x）=AP+PF，从运动的观点看，当点P从C点向点B运动的过程中，在运动到BC的中点之前，PA+PF的值渐渐变小，过了中点之后又渐渐变大，
∵当点P在BC的中点上时，即A、B、P三点共线时，即P在矩形ADFE的对角线AF上时，PA+PF取得最小值；当P在点B或点C时，PA+PF取得最大值
∴函数f（x）的图象的对称轴是x=

1

2

；
g（x）=4f（x）-9=0，即 f（x）=

9

4

．故函数g（x）=4f（x）-9的零点的个数就是f（x）=

9

4

的解的个数．
而由题意可得 f（x）=

9

4

的解有2个，
故答案为：x=

1

2

；2

点评：本题主要考查方程的根的存在性及个数判断，考查化归与转化的数学思想，属于中档题．