Question

13．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₂=2，S₅=15，数列{a_n}满足b₁=$\frac{1}{2}$，b_n+1=$\frac{n+1}{2n}$b_n（n∈N*），记数列{b_n}的前n项和为T_n．
（1）求数列{a_n}的通项a_n及前n项和S_n；
（2）求数列{b_n}的通项b_n及前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）设等差数列{a_n}的公差为d，由a₂=2，S₅=15，可得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+d=2}\\{5{a}_{1}+10d=15}\end{array}\right.$，解得a₁，d．利用等差数列的通项公式及其求和公式即可得出．
（2）数列{a_n}满足b₁=$\frac{1}{2}$，b_n+1=$\frac{n+1}{2n}$b_n（n∈N*），$\frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n}}$=$\frac{1}{2}×\frac{n+1}{n}$．利用“累乘求积”方法可得b_n．再利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，∵a₂=2，S₅=15，∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+d=2}\\{5{a}_{1}+10d=15}\end{array}\right.$，解得a₁=1，d=1．
∴a_n=1+（n-1）=n，S_n=$\frac{n（n+1）}{2}$．
（2）∵数列{a_n}满足b₁=$\frac{1}{2}$，b_n+1=$\frac{n+1}{2n}$b_n（n∈N*），∴$\frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n}}$=$\frac{1}{2}×\frac{n+1}{n}$．
∴b_n=$\frac{{b}_{n}}{{b}_{n-1}}$$•\frac{{b}_{n-1}}{{b}_{n-2}}$•…$•\frac{{b}_{3}}{{b}_{2}}•\frac{{b}_{2}}{{b}_{1}}•{b}_{1}$=$\frac{1}{{2}^{n-1}}$×$\frac{n}{n-1}•\frac{n-1}{n-2}$•…•$\frac{3}{2}$×$\frac{2}{1}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{n}{{2}^{n}}$．
∴数列{b_n}的前n项和T_n=$\frac{1}{2}+\frac{2}{{2}^{2}}$+$\frac{3}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n}}$，
$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{2}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n-1}{{2}^{n}}$+$\frac{n}{{2}^{n+1}}$，
∴$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$=1-$\frac{2+n}{{2}^{n+1}}$，
可得T_n=2-$\frac{2+n}{{2}^{n}}$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式、“错位相减法”、“累乘求积”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．