Question

已知圆C经过A（1，6），又经过A（1，6）与B（5，-2）的中点，且圆心在直线4x-2y=0上．
（1）求圆C的圆心和半径，并写出圆C的方程；
（2）若直线l经过点P（-1，3）且与圆C相切，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（1）根据圆心在4x-2y=0上，设圆心坐标为（a，2a），根据圆C过A（1，6），及过A（1，6）与B（5，-2）的中点（3，2），利用两点间的距离公式列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值，确定出圆心坐标与半径r，写出圆C的方程即可；
（2）设直线l斜率为k，根据直线l过P点，写出直线l方程，根据直线l与圆相切，得到圆心到直线l的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，即可确定出直线l方程．

解答：解：（1）由圆心在4x-2y=0，设圆心坐标为（a，2a），
∵圆C过A（1，6），及过A（1，6）与B（5，-2）的中点（3，2），
∴

(a-3)2+(2a-2)2

=

(a-1)2+(2a-6)2

，
两边平方化简得：-14a+13=-26a+37，即12a=24，
解得：a=2，
∴圆C的圆心为（2，4），半径r=

(2-3)2+(4-2)2

=

5

，
则圆C的方程为（x-2）²+（y-4）²=5；
（2）设直线l的斜率为k，
∵直线l经过点P（-1，3），
∴直线l可写为y-3=k（x+1），即kx-y+k+3=0，
∵直线l与圆C相切，∴圆心（2，4）到kx-y+k+3=0的距离等于r=

5

，
∴

|2k-4+k+3|

k2+1

=

5

，
两边平方化简得2k²-3k-2=0，分解因式得（2k+1）（k-2）=0，
解得：k=-

1

2

或k=2，
则所求直线l方程为x+2y-5=0或2x-y+5=0．

点评：此题考查了直线与圆的位置关系，圆的标准方程，两点间的距离公式，以及点到直线的距离公式，当直线与圆相切时，圆心到切线的距离等于圆的半径，熟练掌握此性质是解本题的关键．