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(12分)(理)如图9-6-6,矩形ABCD中,AB=1,BC=a,PA⊥平面ABCD
(1)问BC边上是否存在Q点,使⊥,说明理由.
(2)问当Q点惟一,且cos<,>=时,求点P的位置.
解:(1)如答图9-6-2所示,建立空间直角坐标系A一xyz,设P(0,0,z),
D(0,a,0),Q(1,y,0),
则=(1,y,-z),=(-1,a-y,0),且⊥.
∴·-1+y(a-y)=0y2-ay+1=0.
∴△=a2-4.
当a>2时,△>0,存在两个符合条件的Q点;
当a=2时,△=0,存在惟一一个符合条件的Q点;
当a<2时,△<0,不存在符合条件的Q点.
(2)当Q点惟一时,由5题知,a=2,y=1.
∴B(1,0,0),=(-1,0,z),=(-1,1,0).
∴cos<,>===.
∴z=2.即P在距A点2个单位处.
【解析】略
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