Question

已知椭圆的长轴长是短轴长的两倍，且过点C（2，1），点C关于原点O的对称点为点D．
（I）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）点P在椭圆E上，直线CP和DP的斜率都存在且不为0，试问直线CP和DP的斜率之积是否为定值？若是，求此定值；若不是，请说明理由：
（Ⅲ）平行于CD的直线l交椭圆E于M，N两点，求△CMN面积的最大值，并求此时直线l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由椭圆长轴长是短轴长的两倍设出椭圆的方程，把点C的坐标代入椭圆方程可求解b，则椭圆的方程可求；
（Ⅱ）设出P点的坐标，写出直线CP和DP的斜率，由点P在椭圆上得到P点横纵坐标的关系式，代入斜率乘积的表达式整理可得直线CP和DP的斜率之积为定值；
（Ⅲ）由直线l平行于CD，设出直线l的斜截式方程，和椭圆方程联立后求出弦MN的长度，由点到直线的距离公式求出C到MN的距离，代入面积公式后利用基本不等式求最大值，并求出使面积最大时的直线l的方程．
解答：解：（Ⅰ）∵2a=2•2b，∴a=2b．
设椭圆方程为．
椭圆E过点C（2，1），
代入椭圆方程得，解得，则，
所以所求椭圆E的方程为；
（Ⅱ）依题意得D（-2，-1）在椭圆E上．
CP和DP的斜率K_CP和K_DP均存在．
设P（x，y），则，，
①
又∵点P在椭圆E上，
∴，∴x²=8-4y²，代入①得，
．
所以CP和DP的斜率K_CP和K_DP之积为定值
（Ⅲ）CD的斜率为，∵CD平行于直线l，∴设直线l的方程为．
由，
消去y，整理得x²+2tx+（2t²-4）=0．
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
由，得|MN|=
=．
．
所以，
当且仅当t²=4-t²时取等号，即t²=2时取等号
所以△MNC面积的最大值为2．
此时直线l的方程
点评：本题考查了椭圆的标准方程，考查了椭圆的简单几何性质，考查了直线与圆锥曲线的关系，训练了利用弦长公式求弦长，考查了利用基本不等式求最值，是有一定难度题目．