Question

点P到x轴的距离比它到点（0，1）的距离小1，称点P的轨迹为曲线C，点M为直线l：y=-m （m＞0）上任意一点，过点M作曲线C的两条切线MA，MB，切点分别为A，B．
（1）求曲线C的轨迹方程；
（2）当M的坐标为（0，-l）时，求过M，A，B三点的圆的标准方程，并判断直线l与此圆的位置关系；
（3）当m变化时，试探究直线l上是否存在点M，使MA⊥MB？若存在，有几个这样的点，若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵点P到x轴的距离比点P到点（0，1）的距离小1，
∴点P到直线y=-1的距离等于点P到点（0，1）的距离，
∴点P的轨迹是焦点在（0，1），准线为y=-1的抛物线，
∴点P的轨迹方程为：x²=4y．
（2）当M的坐标为（0，-1）时，设过M点的切线方程为y=kx-1，
代入x²=4y，整理得x²-4kx+4=0，①
令△=（4k）²-4×4=0，解得k=±1，代入方程①得x=±2，故得A（2，1），B（-2，1），|AB|=4．
∵M到AB的中点（0，1）的距离为2，
∴过M，A，B三点的圆的标准方程为x²+（y-1）²=4．
易知圆与直线l：y=-1相切．
（3）设M（x₀，-m），过M的切线方程为：y=k（x-x₀）-m．
联立整理得 x²-4kx+4（kx₀+m）=0，
∵直线与抛物线相切，∴△=0．
即16k²-16（kx₀+m）=0，整理得k²-kx₀-m=0，
∴k_MA+k_MB=x₀，k_MA•k_MB=-m
若MA⊥MB，则k_MA•k_MB=-m=-1．
即m=1时，直线l上任意一点M均有MA⊥MB；
m≠1时，MA与MB不垂直．
综上所述，当m=1时，直线l上存在无穷多个点M，使MA⊥MB，
当m≠1时，直线l上不存在满足条件的点M．
分析：（1）利用抛物线的定义即可得出其轨迹；
（2）当M的坐标为（0，-1）时，设过M点的切线方程为y=kx-1，与抛物线的方程联立，因为相切，可得△=0，即可解出斜率k，可得出点A，B的坐标，进而得到过三点A、B、M的圆的标准方程，即可判断出直线l与此圆的位置关系；
（3）设M（x₀，-m），过M的切线方程为：y=k（x-x₀）-m．与抛物线的方程联立，由于相切可得△=0，即可得到直线MA，MB的斜率满足的关系式，再利用垂直满足的关系式即可判断出答案．
点评：熟练掌握抛物线的定义、直线与抛物线相切转化为关于一个未知数的一元二次方程的△=0、根与系数的关系、直线相互垂直与斜率的关系、分类讨论的思想方法等是解题的关键．