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已知a∈R,函数f(x)=-x2+2|x-a|.
(1)若f(x)为偶函数,求a的值;
(2)若a=
1
2
,求函数y=f(x)的单调递增区间;
(3)求函数f(x)的最大值.
考点:带绝对值的函数,函数单调性的判断与证明,函数奇偶性的性质
专题:分类讨论,函数的性质及应用
分析:(1)直接利用偶函数的定义,推出关系式然后求a的值;
(2)通过a=
1
2
,去掉绝对值得到分段函数,利用二次函数的开口方向,直接求函数y=f(x)的单调递增区间;
(3)化简函数为二次函数的顶点式形式,通过a的范围,分别求出函数的最大值.
解答: (本小题满分15分)
解:(1)任取x∈R,则f(-x)=f(x)恒成立,即
-(-x)2+2|-x-a|=-x2+2|x-a|恒成立.
∴|x+a|=|x-a|恒成立,两边平方得:x2-2ax+a2=x2+2ax+a2
∴a=0                               …(4分)
(2)若a=
1
2
,则f(x)=-x2+2|x-
1
2
|=
-x2-2x+1,x<
1
2
-x2+2x-1,x≥
1
2

由函数的图象可知,函数的单调递增区间为(-∞,-1],[
1
2
,1
],…(8分)
(3)f(x)=-x2+2|x-a|=
-x2+2x-2a,x≥a
-x2-2x+2a,x<a
. …(10分)
即f(x)=
-(x-1)2+1-2a,x≥a
-(x+1)2+1+2a,x<a

⒈当a≤-1时,f(x)在(-∞,1)上递增,在(1,+∞)上递减.∴f(x)max=f(1)=1-2a.
⒉当-1<a<1时,f(x)在(-∞,-1),(a,1)上递增,在(-1,a),(1,+∞)上递减.
∴f(x)max=max{f(-1),f(1)}={1+2a,1-2a},
(ⅰ)当-1<a≤0时,1+2a≤1-2a,∴f(x)max=1-2a.
(ii)当0<a<1时,1+2a>1-2a,∴f(x)max=1+2a.
⒊当a≥1时,f(x)在(-∞,-1)上递增,在(-1,+∞)上递减.
∴f(x)max=f(-1)=1+2a.
综上所述,f(x)max=
1-2a,a≤0
1+2a,a>0
                          …(15分)
点评:本题考查函数的奇偶性的判断函数的单调区间的求法,函数的最值的求法,考查分类讨论思想以及计算能力.
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1
3
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16
3
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2
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