考点:带绝对值的函数,函数单调性的判断与证明,函数奇偶性的性质
专题:分类讨论,函数的性质及应用
分析:(1)直接利用偶函数的定义,推出关系式然后求a的值;
(2)通过a=
,去掉绝对值得到分段函数,利用二次函数的开口方向,直接求函数y=f(x)的单调递增区间;
(3)化简函数为二次函数的顶点式形式,通过a的范围,分别求出函数的最大值.
解答:
(本小题满分15分)
解:(1)任取x∈R,则f(-x)=f(x)恒成立,即
-(-x)
2+2|-x-a|=-x
2+2|x-a|恒成立.
∴|x+a|=|x-a|恒成立,两边平方得:x
2-2ax+a
2=x
2+2ax+a
2,
∴a=0 …(4分)
(2)若a=
,则f(x)=-x
2+2|x-
|=
.
由函数的图象可知,函数的单调递增区间为(-∞,-1],[
,1],…(8分)
(3)f(x)=-x
2+2|x-a|=
| -x2+2x-2a,x≥a | -x2-2x+2a,x<a |
| |
. …(10分)
即f(x)=
| -(x-1)2+1-2a,x≥a | -(x+1)2+1+2a,x<a |
| |
⒈当a≤-1时,f(x)在(-∞,1)上递增,在(1,+∞)上递减.∴f(x)
max=f(1)=1-2a.
⒉当-1<a<1时,f(x)在(-∞,-1),(a,1)上递增,在(-1,a),(1,+∞)上递减.
∴f(x)
max=max{f(-1),f(1)}={1+2a,1-2a},
(ⅰ)当-1<a≤0时,1+2a≤1-2a,∴f(x)
max=1-2a.
(ii)当0<a<1时,1+2a>1-2a,∴f(x)
max=1+2a.
⒊当a≥1时,f(x)在(-∞,-1)上递增,在(-1,+∞)上递减.
∴f(x)
max=f(-1)=1+2a.
综上所述,f(x)
max=
…(15分)
点评:本题考查函数的奇偶性的判断函数的单调区间的求法,函数的最值的求法,考查分类讨论思想以及计算能力.