分析 通过建系且设P(cosα,sinα)(其中π<α<$\frac{3}{2}$π,),利用直线OP的斜率存在且为tanα进而可知直线MN的方程y=-$\frac{1}{tanα}$x+$\frac{1}{sinα}$,求出M($\frac{1}{cosα}$,0)、N(0,$\frac{1}{sinα}$),进而利用三角形面积公式及基本不等式计算即得结论.
解答 解:建系如图,设P(cosα,sinα),其中π<α<$\frac{3}{2}$π,
则直线OP的斜率存在且为$\frac{sinα}{cosα}$=tanα,
从而直线MN的斜率为-$\frac{1}{tanα}$,直线MN的方程为:y-sinα=-$\frac{1}{tanα}$(x-cosα),
整理得:y=-$\frac{1}{tanα}$x+$\frac{1}{sinα}$,
令y=0可知x=$\frac{1}{cosα}$,令x=0可知y=$\frac{1}{sinα}$,即M($\frac{1}{cosα}$,0)、N(0,$\frac{1}{sinα}$),
∴S△OMN=$\frac{1}{2}$MN•OP=$\frac{1}{2}$•$\sqrt{\frac{1}{co{s}^{2}α}+\frac{1}{si{n}^{2}α}}$
=$\frac{1}{2}•$$\sqrt{\frac{si{n}^{2}α}{co{s}^{2}α}+\frac{co{s}^{2}α}{si{n}^{2}α}+2}$
≥$\frac{1}{2}•$$\sqrt{2\frac{sinα}{cosα}•\frac{cosα}{sinα}+2}$
=1,
当且仅当$\frac{sinα}{cosα}$=$\frac{cosα}{sinα}$即α=$\frac{5}{4}$π时取等号,
∴点A的所在部分的最大面积为2•2-1=3.
点评 本题考查函数模型的选择与应用,考查数形结合能力,涉及坐标的设法、基本不等式、三角函数等基本知识,注意解题方法的积累,属于中档题.
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 0个 | B. | 1个 | C. | 2个 | D. | 3个 |
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 4 | B. | $2\sqrt{2}$ | C. | 2 | D. | $\sqrt{2}$ |
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科目:高中数学 来源: 题型:填空题
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