Question

（本题满分12分）

已知数列{a_n}中，a₁＝，a_n＝2－，（n≥2，n∈N^*），数列{b_n}满足b_n＝，（n∈N^*）．

    （1）求证：数列{b_n}是等差数列；

    （2）求数列{a_n}中的最大项和最小项，并说明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）数列{b_n}是以－为首项，1为公差的等差数列．证明略

（2）当n＝3时，a_n取得最小值－1；当n＝4时，a_n取最大值3．

【解析】证明：（1）因为a_n＝2－，（n≥2，n∈N^*），

b_n＝．

所以当n≥2时，b_n－b_n－1＝－

＝－＝－＝1．

又b₁＝＝－．

∴数列{b_n}是以－为首项，1为公差的等差数列．

（2）由（1）知，b_n＝n－，则

a_n＝1＋＝1＋．

设函数f（x）＝1＋，f（x）在区间（－∞，）和（，＋∞）内为减函数．

又f（3）＝－1，f（4）＝3．

所以，当n＝3时，a_n取得最小值－1；当n＝4时，a_n取最大值3．