Question

14．三棱锥M-ABC的三侧棱两两垂直，底面ABC内一点N到三个侧面的距离分别为$2\sqrt{2}，4，5$，则经过点M和N的所有球中，体积最小的球的表面积为49π．

Answer 1

分析 根据题意，点Q到三个侧面的垂线与侧棱PA、PB、PC围成一个棱长为2$\sqrt{2}$、4、5的长方体，分析可知以PQ为直径的球是它的外接球，此时过点P和Q的所有球中，表面积最小的球，即可求解

解答 解：根据题意：点Q到三个侧面的垂线与侧棱PA、PB、PC围成一个棱长为2$\sqrt{2}$、4、5的长方体，内部图形如图．
则其外接球的直径即为PQ且为长方体的体对角线，过点P和Q的所有球中，此时外接球的表面积最小，
此时，长方体对角线即为球的直径，∴2R=$\sqrt{{4}^{2}+{5}^{2}+（2\sqrt{2}）^{2}}=7$、
由球的表面积公式得：S=4πR²=49π，
故答案为：49π．

点评 本题主要考查空间几何体的构造和组合体的基本关系．判断长方体的对角线是过P和Q的所有球中，最小的球是解题的关键．属于中档题