Question

【题目】北京、张家口2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估，该商品原来每件售价为25元，年销售8万件．

（1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？

（2）为了抓住申奥契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到元．公司拟投入万作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品改革后的销售量至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．

Answer 1

【答案】（1）40元；（2）销售至少达10.2万件，每件定价30元.

【解析】

（1）设每件定价为x元，可得提高价格后的销售量，根据销售的总收人不低于原收入，建立不等式，解不等式可得每件最高定价；

（2）依题意，x＞25时，不等式ax≥25×8+50（x2﹣600）x有解，等价于x＞25时，ax有解，利用基本不等式，我们可以求得结论．

（1）设每件定价为t元，依题意得（8）x≥25×8，

整理得t2﹣65t+1 000≤0，解得25≤t≤40．

所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元．

（2）依题意知当x＞25时，不等式ax≥25×8+50（x2﹣600）x有解，

等价于x＞25时，ax有解．

由于x≥2 10，当且仅当，即x＝30时等号成立，所以a≥10.2．

当该商品改革后的销售量a至少达到10.2万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．