【题目】已知直线,(为参数),以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标轴,曲线的极坐标方程为.
(1)求直线的普通方程及曲线的直角坐标方程;
(2)设直线与曲线交于两点,求.
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【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为、,直线:与椭圆相交于、两点,椭圆的上顶点与焦点关于直线对称,且.斜率为的直线与线段相交于点,与椭圆相交于、两点.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)求四边形面积的取值范围.
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【题目】已知函数, .
(Ⅰ)当x≥0时,f(x)≤h(x)恒成立,求a的取值范围;
(Ⅱ)当x<0时,研究函数F(x)=h(x)﹣g(x)的零点个数;
(Ⅲ)求证:(参考数据:ln1.1≈0.0953).
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【题目】如下图,在四棱锥中,面,,,,,,,为的中点。
(1)求证:面;
(2)线段上是否存在一点,满足?若存在,试求出二面角的余弦值;若不存在,说明理由。
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【题目】汽车行业是碳排放量比较大的行业之一,欧盟从2012年开始就对二氧化碳排放量超过
的型汽车进行惩罚,某检测单位对甲、乙两类型品牌汽车各抽取5辆进行二氧化碳排放量检测,记录如下(单位:):
甲 | 80 | 110 | 120 | 140 | 150 |
乙 | 100 | 120 | 100 | 160 |
经测算发现,乙类型品牌汽车二氧化碳排放量的平均值为.
(Ⅰ)从被检测的5辆甲类型品牌车中任取2辆,则至少有1辆二氧化碳排放量超过的概率是多少?
(Ⅱ)求表中,并比较甲、乙两类型品牌汽车二氧化碳排放量的稳定性.
,其中,表示的平均数,表示样本数量,表示个体,表示方差)
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【题目】如图是一个表面被涂上红色的棱长是4cm的立方体,将其适当分割成棱长为1cm的小立方体.
(1)共得到多少个棱长是1cm的小立方体?
(2)三面是红色的小立方体有多少个?它们的表面积之和是多少?
(3)两面是红色的小立方体有多少个?它们的表面积之和是多少?
(4)一面是红色的小立方体有多少个?它们的表面积之和是多少?
(5)六个面均没有颜色的小立方体有多少个?它们的表面积之和是多少?它们占有多少立方厘米的空间?
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【题目】已知椭圆 的左焦点左顶点.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)已知,是椭圆上的两点,是椭圆上位于直线两侧的动点.若,试问直线的斜率是否为定值?请说明理由.
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【题目】某校从学生会宣传部6名成员(其中男生4人,女生2人)中,任选3人参加某省举办的“我看中国改革开放三十年”演讲比赛活动.
(1)设所选3人中女生人数为ξ,求ξ的分布列;
(2)求男生甲或女生乙被选中的概率;
(3)设“男生甲被选中”为事件A,“女生乙被选中”为事件B,求P(B)和P(B|A).
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【题目】退休年龄延迟是平均预期寿命延长和人口老龄化背景下的一种趋势.某机构为了解某城市市民的年龄构成,按的比例从年龄在20~80岁(含20岁和80岁)之间的市民中随机抽取600人进行调查,并将年龄按进行分组,绘制成频率分布直方图,如图所示.规定年龄在岁的人为“青年人”,岁的人为“中年人”, 岁的人为“老年人”.
(Ⅰ)根据频率分布直方图估计该城市60岁以上(含60岁)的人数,若每一组中的数据用该组区间的中点值来代表,试估算所调查的600人的平均年龄;
(Ⅱ)将上述人口分布的频率视为该城市年龄在20~80岁的人口分布的概率,从该城市年龄在20~80岁的市民中随机抽取3人,记抽到“老年人”的人数为,求随机变量的分布列和数学期望.
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