精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
已知命题“若点M(x0,y0)是圆x2+y2=r2上一点,则过点M的圆的切线方程为x0x+y0y=r2”.
(Ⅰ)根据上述命题类比:“若点M(x0,y0)是椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)上一点,则过点M的切线方程为
 
”(写出直线的方程,不必证明).
(Ⅱ)已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的左焦点为F1(-1,0),且经过点(1,
3
2
).
(i)求椭圆C的方程;
(ii)过F1的直线l交椭圆C于A、B两点,过点A、B分别作椭圆的两条切线,求其交点的轨迹方程.
考点:直线与圆锥曲线的综合问题
专题:圆锥曲线中的最值与范围问题
分析:(Ⅰ)仿照圆的切线方程进行类比,能求出过椭圆上一点的切线方程.
(Ⅱ)(ⅰ)设椭圆C:
x2
a2
+
y2
a2-1
=1
,把点(1,
3
2
)代入,能求出椭圆方程.
(ⅱ)分别求出椭圆在点A、B处的切线方程,联立方程组能求出交点的轨迹方程.
解答: 解:(Ⅰ)
x0x
a2
+
y0y
b2
=1
.(3分)
(Ⅱ)(ⅰ)∵椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的左焦点F1(-1,0),
∴设椭圆C:
x2
a2
+
y2
a2-1
=1

∵椭圆经过点(1,
3
2
),
1
a2
+
9
4a2-4
=1

整理,得4a4-17a2+4=0,
解得a2=4,或a2=
1
4

∴椭圆方程为:
x2
4
+
y2
3
=1
.(7分)
(ⅱ)当直线l的斜率存在时,设为k,直线l的方程为y=k(x+1),
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则椭圆在点A处的切线方程为:
x1x
4
+
y1y 
3
=1
,①
椭圆在点B的切线方程为:
x2x
4
+
y2y
3
=1
,②
联立方程①②得:x=
4(y2-y1)
x1y2-x2y1
=
4k(x2-x1) 
x1k(x2-1)-x2k(x1+1)
=-4,
即此时交点的轨迹方程:x=4.(11分)
当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=-1,
此时A(-1,
3
2
),B(-1,-
3
2
),经过AB两点的切线交点为(-4,0).
综上所述,切线的交点的轨迹方程为:x=-4.(13分)
点评:本题考查切线方程的求法,考查椭圆方程的求法,考查交点的轨迹方程的求法,解题时要认真审题,注意计算能力、推理论证能力的培养.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=tx-t-lnx(t>0).
(Ⅰ)若函数f(x)在[1,+∞)上为增函数,求实数t的取值范围;
(Ⅱ)当n≥2且n∈N*时,证明:
1
ln2
+
1
ln3
…+
1
lnn
>lnn

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知抛物线y2=x上相异两点A(x1,y1),B(x2,y2),x1+x2=2.
(1)若AB的中垂线经过点P(0,2),求直线AB的方程;
(2)若AB的中垂线交x轴于点M,求△ABM的面积的最大值.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知双曲线C:
x2
a2
-
y2
b2
=1的焦距为3
2
,其中一条渐近线的方程为x-
2
y=0.以双曲线C的实轴为长轴,虚轴为短轴的椭圆记为E,过原点O的动直线与椭圆E交于A、B两点.
(Ⅰ)求椭圆E的方程;
(Ⅱ)若点P为椭圆的左顶点,
PG
=2
GO
,求|
GA
|2+|
GB
|2
的取值范围;
(Ⅲ)若点P满足|PA|=|PB|,求证
1
|OA|2
+
1
|OB|2
+
2
|OP|2
为定值.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知动圆C过定点M(0,2),且在x轴上截得弦长为4.设该动圆圆心的轨迹为曲线C.
(Ⅰ)求曲线C方程;
(Ⅱ)点A为直线l:x-y-2=0上任意一点,过A作曲线C的切线,切点分别为P、Q,△APQ面积的最小值及此时点A的坐标.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知双曲线C:
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)
的焦距为2
7
,其一条渐近线的倾斜角为θ,且tanθ=
3
2
.以双曲线C的实轴为长轴,虚轴为短轴的椭圆记为E.
(Ⅰ)求椭圆E的方程;
(Ⅱ)设点A是椭圆E的左顶点,P、Q为椭圆E上异于点A的两动点,若直线AP、AQ的斜率之积为-
1
4
,问直线PQ是否恒过定点?若恒过定点,求出该点坐标;若不恒过定点,说明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知椭圆C的中心在坐标原点,右焦点为F(1,0),A、B是椭圆C的左、右顶点,P是椭圆C上异于A、B的动点,且△APB面积的最大值为2
3

(1)求椭圆C的方程;
(2)直线AP与直线x=2交于点D,证明:以BD为直径的圆与直线PF相切.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

若方程|logax|=||x-3|-1|有三解,则实数a的取值范围是
 

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知约束条件对应的平面区域D如图所示,其中l1,l2,l3对应的直线方程分别为:y=k1x+b1,y=k2x+b2,y=k3x+b3,若目标函数z=-kx+y仅在点A(m,n)处取到最大值,则有(  )
A、k1<k<k2
B、k1<k<k3
C、k1≤k≤k3
D、k<k1或k>k3

查看答案和解析>>

同步练习册答案