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已知二次函数y=f(x)的图象与x轴相切于点(-1,0),其导函数y=f′(x)与直线y=2x平行.
(1)求y=f(x)的解析式;
(2)已知,试讨论方程kf′(x)-lnf(x)=0(k∈R)在区间(-1,+∞)上解得个数.
【答案】分析:(1)先假设函数解析式,利用导函数y=f′(x)与直线y=2x平行,可求y=f(x)的解析式;
(2)方程kf′(x)-lnf(x)=0(k∈R)在区间(-1,+∞)上解,可转化为两曲线的交点个数,由此,可借助于函数的图象加以解决.
解答:解:(1)依题意可设y=f(x)=a(x+1)2(a≠0).
又导函数y=f′(x)与直线y=2x平行
∴a=1,
∴y=f(x)=(x+1)2…(4分)
(2)由(1)知:2k(x+1)-2ln(x+1)=0,令t=x+1>0(x>-1),∴
故原方程在(-1,+∞)上的解,即为直线y=k与曲线在(0,+∞)上的交点个数.…(7分)

令g′(t)=0,∴t=e∈(0,+∞),
∴函数在(0,e)上单调增,在(e,+∞)上单调减
∴由图象可知,当时,原方程没有解;
当0<k<时,原方程有两解;
当k≤0时,原方程仅有一解;
当k=时,原方程仅有一解.…(12分)
综上所述,当k≤0或k=时,方程仅有一解;
当0<k<时,方程有两解;
时,方程没有解.…(13分)
点评:本题以二次函数为载体,考查解析式的求解,考查方程根的个数的研究,关键是合理转化.
练习册系列答案
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(1)求f(x)的解析式;
(2)求函数y=f(sinx),x∈[0,
π2
]
的最值.

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(1)函数f(x)的解析式;
(2)函数f(x)在[t,t+1]上的最小值g(t).

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已知二次函数y=f(x)的图象如图所示:
(1)求函数y=f(x)的解析式;
(2)根据图象写出不等式f(x)>0的解集;
(3)若方程|f(x)|=k有两个不相等的实数根,根据函数图象及变换知识,求k的取值的集合.

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已知二次函数y=f(x)=x2+bx+c的图象过点(1,13),且函数y=f(x-
12
)
是偶函数.
(1)求f(x)的解析式;
(2)已知t<2,g(x)=[f(x)-x2-13]•|x|,求函数g(x)在[t,2]上的最大值和最小值;
(3)函数y=f(x)的图象上是否存在这样的点,其横坐标是正整数,纵坐标是一个完全平方数?如果存在,求出这样的点的坐标;如果不存在,请说明理由.

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