Question

已知f(x)=ax3+

b

x

 (ab≠0)，对任意a，b∈R（a≠b），都有

f(a)-f(b)

a-b

＞0．若x₁+x₂＜0，且x₁?x₂＜0，则f（x₁）+f（x₂）的值（　　）

• A、恒小于0
• B、恒大于0
• C、可能为0
• D、可正可负

Answer 1

分析：由x₁+x₂＜0，得x₁＜-x₂，由已知条件可知函数f（x）为增函数，且为奇函数，由此即可得到答案

解答：解：∵对任意a，b∈R（a≠b），都有

f(a)-f(b)

a-b

＞0，
∴函数f（x）=ax³+

b

x

在定义域内单调递增，
由x₁+x₂＜0，得x₁＜-x₂，
∴f（x₁）＜f（-x₂）；①
又f（-x）=-ax³-

b

x

=-（ax³+

b

x

）=-f（x），
∴f（x）为奇函数；②
由①②得：f（x₁）+f（x₂）＜0恒成立，
故选：A．

点评：本题考查函数的奇偶性、单调性的应用，解决本题的关键是对函数性质的灵活运用，属于中档题．