Question

已知函数f（x）=

3

2

sin2x-

1

2

（cos²x-sin²x）-1，x∈R，将函数f（x）的图象向左平移

π

6

个单位后得函数g（x）的图象，
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；
（2）设锐角ABC三个角A、B、C的对边分别为a、b、c．若g（B）=0且

m

=（cosA，cosB），

n

=（1，sinA-cosAtanB），求

m

•

n

的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由二倍角的余弦公式和辅助角公式，化简得f（x）=sin（2x-

π

6

）-1，再结合正弦函数单调区间的公式和周期公式，即可得到f（x）的最小正周期和单调递减区间；
（2）根据函数图象平移公式，可得g（x）=f（x+

π

6

）=sin（2x+

π

6

）-1，由g（B）=0可解得B=

π

6

，从而得到向量

m

、

n

关于A的坐标形式，得到

m

•

n

=sin（A+

π

6

），最后结合三角形为锐角三角形和正弦函数的图象与性质，即可算出

m

•

n

的取值范围．

解答：解：（1）由题意，得f（x）=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x-1=sin（2x-

π

6

）-1
因此，f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π
令

π

2

+2kπ≤2x-

π

6

≤

3π

2

+2kπ，k∈Z，得

π

3

+2kπ≤x≤

5π

6

+2kπ，k∈Z，
∴函数f（x）的单调递减区间为[

π

3

+2kπ，

5π

6

+2kπ]，k∈Z
（2）∵将函数f（x）的图象向左平移

π

6

个单位后得函数g（x）的图象，
∴g（x）=f（x+

π

6

）=sin[2（x+

π

6

）-

π

6

]=sin（2x+

π

6

）-1
由此可得g（B）=sin（2B+

π

6

）-1=0，结合B∈（0，

π

2

）可解得B=

π

6

∴

m

=（cosA，cosB）=（cosA，

3

2

），

n

=（1，sinA-cosAtanB）=（1，sinA-

3

3

cosA），
因此，

m

•

n

=cosA+

3

2

（sinA-

3

3

cosA）=

3

2

sinA+

1

2

cosA=sin（A+

π

6

），
∵A∈（0，

π

2

），C=

5π

6

-A∈（0，

π

2

）
∴

π

3

＜A＜

π

2

，得A+

π

6

∈（

π

2

，

2π

3

）
结合正弦函数的图象与性质，可得sin（A+

π

6

）∈（

3

2

，1）
即

m

•

n

的取值范围是（

3

2

，1）．

点评：本题给出三角函数式，求函数的单调区间和周期，并求在闭区间上的最值，着重考查了三角恒等变换和三角函数的图象与性质等知识，属于中档题．