Question

选修4-5：不等式选讲
设函数f（x）=|2x-4|+|x+2|
（Ⅰ）求函数y=f（x）的最小值；
（Ⅱ）若不等式f（x）≥|a+4|-|a-3|恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）去绝对值可得f（x）=

-3x+2     x＜-2 6-x     -2≤x＜2 3x-2     x≥2

，分段求最值可得；
（Ⅱ）问题等价于|a+4|-|a-3|≤f（x）_min=4，解之可得．

解答：解：（Ⅰ）由于f（x）=|2x-4|+|x+2|=

-3x+2     x＜-2 6-x     -2≤x＜2 3x-2     x≥2

可得当x＜-2时，-3x+2＞8，当-2≤x＜2时，4＜6-x≤8，
当x≥2时，3x-2≥4，
所以函数的最小值为f（2）=4．
（Ⅱ）若不等式f（x）≥|a+4|-|a-3|恒成立，则|a+4|-|a-3|≤f（x）_min=4，
又解不等式|a+4|-|a-3|≤4可解得a≤

3

2

．所以a的取值范围为a≤

3

2

点评：本题考查绝对值不等式的解法，涉及函数恒成立问题，属中档题．