Question

（2009•河西区二模）已知定义在正实数集上的函数f（x）=

3x2

2

+ax，g（x）=4a²lnx+b，其中a＞0，设两曲线x=f（x）与f=g（x）有公共点，且在公共点处的切线相同．
（I）若a=1，求两曲线y=f（x）与y=g（x）在公共点处的切线方程；
（Ⅱ）用a表示b，并求b的最大值．

Answer 1

分析：（I）设y=f（x）与y=g（x）（x＞0）在公共点（x₀，y₀）处的切线相同，先利用导数求出在切点处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．最后利用两直线重合列出等式即可求得b值；
（Ⅱ）利用（I）类似的方法，利用a的表达式来表示b，然后利用导数来研究b的最大值，研究此函数的最值问题，先求出函数的极值，结合函数的单调性，最后确定出最大值与最小值即得．

解答：解：（I）当a=1时，f(x)=

3x2

2

+x，g(x)=4lnx+b．(x＞0)，f′(x)=3x+1，g′(x)=

4

x

，
曲线y=f（x）与y=g（x）在公共点（x₀，y₀）处的切线相同，则有f'（x₀）=g'（x₀），
即3x0+1=

4

x0

，解得x₀=1或x0=-

4

3

（舍），
又

3 x 2 0

2

+x0=4lnx0+b，故得b=

5

2

，公共点为(1，

5

2

)，
∴切线方程为y-

5

2

=4(x-1)，即8x-2y-3=0；
（Ⅱ）f′(x)=3x+a，g′(x)=

4a2

x

，设在（x₀，y₀）处切线相同，
故有f'（x₀）=g'（x₀），f（x₀）=g（x₀），即

3x0+a= 4a2 x0      ① 3 x 2 0 2 +ax0=4a2lnx0+b   ②

，
由①3

x

2 0

+ax0-4a2=0，(x0-a)(3x0+4a)=0，得x0=a，x0=-

4a

3

（舍），
于是b=

3a2

2

+a2-4a2lna=

5a2

2

-4a2lna，
令h(t)=

5t2

2

-4t2lnt(t＞0)，则h'（t）=5t-8tlnt-4t=t（1-8lnt），
于是当t（1-8lnt）＞0，即0＜1＜e

1

8

时，h'（t）＞0，故h（t）在(0，e

1

8

)上递增．
当t（1-8lnt）＜0，即t＞e

1

8

时，h'（t）＜0，故h（t）在(e

1

8

，+∞)上递减，
∴h（t）在t=e

1

8

处取最大值．
∴当a=e

1

8

时，b取得最大值

5e 1 4

2

-4e

1

4

lne

1

8

=2e

1

4

．

点评：本小题主要考查利用导数求闭区间上函数的最值、利用导数研究曲线上某点切线方程、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于中档题．