Question

已知A、B、C是△ABC的三个内角，a，b，c为其对应边，向量

m

=(-1，

3

)，

n

=(cosA，sinA)，且

m

•

n

=1．
（Ⅰ）求角A；
（Ⅱ）若

AB

=(2，1)，

cosB

cosC

=

b

c

，求△ABC的面积S．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由两向量的坐标，利用平面向量的数量积运算法则列出关系式，利用两角和与差的正弦函数公式化简，利用特殊角的三角函数值即可求出角A的度数；
（Ⅱ）已知等式利用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式化简，得到B=C，由A的度数确定出三角形ABC为正三角形，求出

AB

的模，即可确定出等边三角形ABC的面积．

解答：解：（Ⅰ）∵

m

=（-1，

3

），

n

=（cosA，sinA），且

m

•

n

=1，
∴

3

sinA-cosA=1，即2（

3

2

sinA-

1

2

cosA）=2sin（A-

π

6

）=1，
∴sin（A-

π

6

）=

1

2

，
∵0＜A＜π，∴-

π

6

＜A-

π

6

＜

5π

6

，
∴A-

π

6

=

π

6

，即A=

π

3

；
（Ⅱ）将

cosB

cosC

=

b

c

利用正弦定理化简得：

cosB

cosC

=

sinB

sinC

，即cosBsinC-sinBcosC=0，
∴sin（B-C）=0，
∵B与C为三角形的内角，
∴B=C，
∵A=

π

3

，∴B=C=

π

3

，即△ABC为等边三角形，
∵|

AB

|=

22+12

=

5

，
∴S=

3

4

|

AB

|²=

5 3

4

．

点评：此题考查了正弦定理，平面向量的数量积运算，两角和与差的正弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．