Question

（08年重庆卷理）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分.）

如题（19）图，在中，B=,AC=,D、E两点分别在AB、AC上.使

,DE=3.现将沿DE折成直二角角，求：

（Ⅰ）异面直线AD与BC的距离；

（Ⅱ）二面角A-EC-B的大小（用反三角函数表示）.

Answer 1

【标准答案】　　解法一：

　　（Ⅰ）在答（19）图1中，因，故BE∥BC.又因B＝90°，从而

AD⊥DE.

在第（19）图2中，因A-DE-B是直二面角，AD⊥DE,故AD⊥底面DBCE，从

而AD⊥DB.而DB⊥BC,故DB为异面直线AD与BC的公垂线.

下求DB之长.在答（19）图1中，由，得

又已知DE=3,从而

    

因

（Ⅱ）在第（19）图2中，过D作DF⊥CE,交CE的延长线于F，连接AF.由（1）知，

AD⊥底面DBCE,由三垂线定理知AF⊥FC,故∠AFD为二面角A-BC-B的平面

角.

在底面DBCE中，∠DEF=∠BCE,

因此

从而在Rt△DFE中，DE=3,

在

因此所求二面角A-EC-B的大小为arctan

解法二：

（Ⅰ）同解法一.

（Ⅱ）如答（19）图3.由（Ⅰ）知，

以D点为坐标原点，的方向为x、

y、z轴的正方向建立空间直角坐标系，则D（0，0，0），A（0，0，4），

，E（0，3，0）.

过D作DF⊥CE,交CE的延长线于F，连接AF.

设从而

   ，有

         ①

   又由       ②

   联立①、②，解得

   因为,故,又因,所以为所求的二面角A-EC-B的平面角.因有所以

   因此所求二面角A-EC-B的大小为

 

【高考考点】本题主要考查直线、直线与平面、平面与平面的位置关系、异面直线间的距离等知识，考查空间想象能力和思维能力，利用综合法或向量法解决立体几何问题的能力。

【易错提醒】

【备考提示】立体几何中的平行、垂直、二面角是考试的重点。