Question

如图，已知四棱锥S-A BCD是由直角梯形沿着CD折叠而成，其中SD=DA=AB=BC=l，AS∥BC，AB⊥AD，且二面角S-CD-A的大小为120°．
（Ⅰ）求证：平面ASD⊥平面ABCD；
（Ⅱ）设侧棱SC和底面ABCD所成角为θ，求θ的正弦值．

Answer 1

分析：（1）根据题意，得到CD⊥SD，CD⊥AD．结合线面垂直的判定定理，得到CD⊥平面ADS，再由CD?平面ABCD，即可证出平面ASD⊥平面ABCD．
（2）由（1）得二面角S-CD-A的平面角为∠ADS，即∠ADS=120°．过点S作SH⊥AD，交AD的延长线于H点．可得SH⊥平面ABC．可得CH为侧棱SC在底面ABCD内的射影，因此∠SCH为侧棱SC和底面ABC所成的角θ．然后分别在在Rt△SHD、Rt△SDC和Rt△SHC中利用三角函数知识，结合题中数据算出sinθ=

6

4

，即得侧棱SC和底面ABCD所成角θ的正弦值．

解答：解：（Ⅰ）∵SD=DA=AB=BC=l，AS∥BC，AB⊥AD，
∴CD⊥SD，CD⊥AD．
可得二面角S-CD-A的平面角为∠ADS，∠ADS=120°．
又∵AD∩SD，
∴CD⊥平面ADS．
又∵CD?平面ABCD，
∴平面ASD⊥平面ABCD．…（6分）
（Ⅱ）过点S作SH⊥AD，交AD的延长线于H点．
∵平面ASD⊥平面ABCD，平面ASD∩平面ABCD=AD，
∴SH⊥平面ABC．可得CH为侧棱SC在底面ABCD内的射影．
因此，∠SCH为侧棱SC和底面ABC所成的角θ．…（10分）
在Rt△SHD中，∠SDH=180°-∠ADS=60°，SD=1，可得SH=SDsin60°=

3

2

．
在Rt△SDC中，∠SDC=90°，SD=AB=DC=1，可得SC=

2

．
在Rt△SHC中，sinθ=

SH

SC

=

3

2 2

=

6

4

．
∴侧棱SC和底面ABCD所成角θ的正弦值的

6

4

．…（13分）

点评：本题给出平面翻折问题，求证面面垂直并求直线与平面所成角的正弦值，着重考查了线面垂直、面面垂直的判定与性质和直线与平面所成角的定义及求法等知识，属于中档题．