Question

7．已知直线$l：y=\sqrt{3}x+2$与圆O：x²+y²=4相交于A，B两点，则|AB|=$2\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由圆的方程x²+y²=4，我们可以确定圆心的坐标及圆的半径，代入点到直线距离公式，即可求出弦心距，然后根据半弦长，弦心距，圆半径构成直角三角形，满足勾股定理，构造方程，解方程求出半弦长，进而即可得到答案．

解答 解：由已知可得圆x²+y²=4是以原点为圆心，以为半径的圆
则圆心到直线$l：y=\sqrt{3}x+2$距离d=$\frac{2}{\sqrt{3+1}}$=1
根据半弦长，弦心距，圆半径构成直角三角形，满足勾股定理得：$\frac{1}{2}$|AB|=$\sqrt{4-1}$=$\sqrt{3}$，
∴|AB|=$2\sqrt{3}$．
故答案为：$2\sqrt{3}$．

点评 本题考查的知识点是直线与圆相交的性质，其中半弦长，弦心距，圆半径构成直角三角形，满足勾股定理，是求圆的弦长时最常用的方法，一定要熟练掌握．