(本小题满分13分)
设是单位圆上的任意一点,是过点与轴垂直的直线,是直线与 轴的交点,点在直线上,且满足. 当点在圆上运动时,记点M的轨迹为曲线.
(Ⅰ)求曲线的方程,判断曲线为何种圆锥曲线,并求其焦点坐标;
(Ⅱ)过原点且斜率为的直线交曲线于,两点,其中在第一象限,它在轴上的射影为点,直线交曲线于另一点. 是否存在,使得对任意的,都有?若存在,求的值;若不存在,请说明理由.
(Ⅰ)当时,曲线是焦点在轴上的椭圆,
两焦点坐标分别为,;
当时,曲线是焦点在轴上的椭圆,
两焦点坐标分别为,.
(Ⅱ)故存在,使得在其对应的椭圆上,对任意的,都有.
【解析】本题主要考察求曲线的轨迹方程、直线与圆锥曲线的位置关系,要求能正确理解椭圆的标准方程及其几何性质,并能熟练运用代数方法解决几何问题,对运算能力有较高要求。
(Ⅰ)如图1,设,,则由,
可得,,所以,. ①
因为点在单位圆上运动,所以. ②
将①式代入②式即得所求曲线的方程为.
因为,所以
当时,曲线是焦点在轴上的椭圆,
两焦点坐标分别为,;
当时,曲线是焦点在轴上的椭圆,
两焦点坐标分别为,.
(Ⅱ)解法1:如图2、3,,设,,则,,
直线的方程为,将其代入椭圆的方程并整理可得
.
依题意可知此方程的两根为,,于是由韦达定理可得
,即.
因为点H在直线QN上,所以.
于是,.
而等价于,
即,又,得,
故存在,使得在其对应的椭圆上,对任意的,都有.
解法2:如图2、3,,设,,则,,
因为,两点在椭圆上,所以 两式相减可得
. ③
依题意,由点在第一象限可知,点也在第一象限,且,不重合,
故. 于是由③式可得
. ④
又,,三点共线,所以,即.
于是由④式可得.
而等价于,即,又,得,
故存在,使得在其对应的椭圆上,对任意的,都有.
科目:高中数学 来源:2015届江西省高一第二次月考数学试卷(解析版) 题型:解答题
(本小题满分13分)已知函数.
(1)求函数的最小正周期和最大值;
(2)在给出的直角坐标系中,画出函数在区间上的图象.
(3)设0<x<,且方程有两个不同的实数根,求实数m的取值范围.
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科目:高中数学 来源:2011-2012学年福建省高三年级八月份月考试卷理科数学 题型:解答题
(本小题满分13分)已知定义域为的函数是奇函数.
(1)求的值;(2)判断函数的单调性;
(3)若对任意的,不等式恒成立,求k的取值范围.
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科目:高中数学 来源:河南省09-10学年高二下学期期末数学试题(理科) 题型:解答题
(本小题满分13分)如图,正三棱柱的所有棱长都为2,为的中点。
(Ⅰ)求证:∥平面;
(Ⅱ)求异面直线与所成的角。www.7caiedu.cn
[来源:KS5
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科目:高中数学 来源:2010-2011学年福建省高三5月月考调理科数学 题型:解答题
(本小题满分13分)
已知为锐角,且,函数,数列{}的首项.
(1) 求函数的表达式;
(2)在中,若A=2,,BC=2,求的面积
(3) 求数列的前项和
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