Question

已知f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的a、b∈R，满足f（ab）=af（b）+bf（a），f（2）=2，an=

f(2n)

n

（n∈N^*），bn=

f(2n)

2n

（n∈N^*）．考查下列结论：①f（0）=f（1）；②f（x）为偶函数；③数列{a_n}为等比数列；④{b_n}为等差数列．其中正确的是（　　）

• A、①②③
• B、①③④
• C、③④
• D、①③

Answer 1

分析：因此题为单选题，可用排除法去做．排除时先通读选项，找出不需验证的结论，在逐一验证其他结论，得出答案．

解答：因每一选项均有③，所以不需验证③，令a=b=0，得到f（0）=0；a=b=1，得到f（1）=0，故①正确，排除C，f（ab）=af（b）+bf（a），f（2）=2，（n∈N^*），bn=

f(2n)

2n

，bn+1=

f(2n+1)

2n+1

=

f(2•2n)

2n+1

=

2f(2n)+2nf(2)

2n+1

=bn+1，
说明b_n为等差数列，故④正确，根据选项，排除A，D．
故选B

点评：此题考查函数中赋值法求函数值，以及函数与数列的综合，需认真分析条件，做出解答