Question

已知（

x

+

1

3x2

）ⁿ的第五项的二项式系数与第三项的二项式系数的比是14：3，求展开式中不含x的项．

Answer 1

分析：由题意可得

C 4 n

C 2 n

=

14

3

可得n=10，由（

x

+

1

3x2

）ⁿ的二项展开式的通项公式即可求得展开式中不含x的项．

解答：解：由题意可得

C 4 n

C 2 n

=

14

3

，
∴n²-5n-50=0，
∴n=10或n=-5（舍）．
∵（

x

+

1

3x2

）¹⁰的二项展开式的通项公式为：T_r+1=

C

r 10

•(x

1

2

)10-r•(

1

3

)r•x^-2r，
∴由

10-5r

2

=0得，r=2．
∴展开式中不含x的项为第三项，T₃=

C

2 10

•(

1

3

)2=5．

点评：本题考查二项式定理，考查二项式系数的概念与性质，考查分析与运算能力，属于中档题．