如图,椭圆过点P(1,
),其左、右焦点分别为F1,F2,离心率e=
, M, N是直线x=4上的两个动点,且
·
=0.
(1)求椭圆的方程;
(2)求MN的最小值;
(3)以MN为直径的圆C是否过定点?
(1)=1;(2)
;(3)(4-
,0)和(4+
,0) .
【解析】
试题分析:(1)因为:,且过点P(1,
),列出关于a,b的方程,解得a,b.最后写出椭圆方程即可;(2)设点M(4,m),N(4,n)写出向量的坐标,利用向量的数量积得到mn=-15,又|MN|=|m-n|=|m|+|n|=|m|+
≥
,结合基本不等式即可求得MN的最小值;
(3)利用圆心C的坐标和半径得出圆C的方程,再令y=0,得x2-8x+1=0从而得出圆C过定点.
试题解析:(1)由已知可得
∴椭圆的方程为=1 4分
(2)设M(4,m),N(4,n),∵F1(-1,0),F2(1,0)
=(5,m),
=(3,n),由
=0
mn=-15<0 6分
∴|MN|=|m-n|=|m|+|n|=|m|+≥2
∴|MN|的最小值为2
10分
(3)以MN为直径的圆C的方程为:(x-4)2+(y-)=(
)2 12分
令y=0得(x-4)2=-
=-mn=15
x=4±
所以圆C过定点(4-,0)和(4+
,0) 14分
考点:1.圆与圆锥曲线的综合;2.椭圆的简单性质.
科目:高中数学 来源:2015届江西赣州四所重点中学高二上学期期末联考理数学试卷(解析版) 题型:选择题
如图所示,程序框图输出的所有实数对(x,y)所对应的点都在函数( )
A.y=x+1的图象上
B.y=2x的图象上
C.y=2x的图象上
D.y=2x-1的图象上
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科目:高中数学 来源:2015届江西赣州四所重点中学高二上学期期末联考文数学试卷(解析版) 题型:选择题
如图所示,程序框图输出的所有实数对(x, y)所对应的点都在函数( )
A.y=x+1的图象上
B.y=2x的图象上
C.y=2x的图象上
D.y=2x-1的图象上
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科目:高中数学 来源:2015届江西赣州六校高二上学期期末联考理科数学试卷(解析版) 题型:选择题
如图所示方格,在每一个方格中填入一个数字,数字可以是
中的任何一个,允许重复,则填入
方格的数字大于
方格的数字的概率为( )
A. B.
C.
D.
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科目:高中数学 来源:2015届江西省宜春市高二上学期期末统考理科数学试卷(解析版) 题型:选择题
如图,已知为
内部(包括边界)的动点,若目标函数
仅在点
处取得最大值,则实数
的取值范围是( )
A. B.
C. D.
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