Question

如图所示，角A为钝角，且sinA=

3

5

，点P、分别在角A的两边上．
（1）已知AP=5，AQ=2，求PQ的长；
（2）设∠APQ=α，∠AQP=β，且cosα=

12

13

，求sin（2α+β）的值．

Answer 1

分析：（1）先求出cosA，再利用余弦定理，求出PQ；
（2）先求出sinα，进而求出sin（α+β），cos（α+β），利用sin（2α+β）=sin[α+（α+β）]，即可求得结论．

解答：解：（1）∵∠A是钝角，且sinA=

3

5

，
∴cosA=-

4

5

…（1分）
在△APQ中，由余弦定理得：PQ²=AP²+AQ²-2AP•AQ•cosA，
从而PQ=3

5

…（6分）
（2）由cosα=

12

13

，得sinα=

5

13

…（8分）
在△APQ中，α+β+A=π，
∴sin（α+β）=sinA=

3

5

，cos（α+β）=-cosA=

4

5

…（12分）
∴sin（2α+β）=sin[α+（α+β）]=sinαcos（α+β）+cosαsin（α+β）=

5

13

•

4

5

+

12

13

•

3

5

=

56

65

…（14分）

点评：本题考查余弦定理，考查角的变换，考查学生的计算能力，正确进行角的变换是关键．